Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 



).=q 



3a;, ~ e/; Lö/; J z^ jlöjj 8/; Ls/; J öx.j 



und hieraus, indem man die angezeigten Operationen ausführt und auf die Relationen (G) und (7) Rücksicht 

 nimmt : 



8.^;, 8<^ 82" 8.(', 8^ 8j-, 



Dies ist ein Ausdruck, der wohl x, enthalten kann, aber von dem Stellenzeiger / unabhängig ist, daher 

 sind alle F von der Form : 



womit die gedachte Eigenschaft bewiesen ist. 



Wenn ein ;w>-l vorhanden ist, für welches die Gleichungen (5) gleichzeitig bestehen können, oder 

 anders ausgedrückt, wenn mehr als Eine der Gleichungen (3) linear durch die anderen nicht mehr linear 

 abhängigen dargestellt werden können, so sind die letzteren (siehe Frobenius: Über das Pfaff'sche Pro 

 blem, Crelle 82) stets unbeschränkt integrabel, und ziehen aus diesem Grunde Integrale von der Form: 



X,n + l '=^^m + i(fm+1 ■ ■ -fqjfj^i,- ■ ■■, ^m) , 



^8 -- YQ ijm+l • • • I / 4 > / ) a;, , . . . , Xm) , 

 3 = i'(fr„+i,. ..,f,l,f,X^,. . .,X„,) 



nach sich, worin f,„+i,- ■ .,/"j,/ die Integrationsconstanten bedeuten. Führt man auch hier statt der Variabein 

 Xm+i,- ■ -x.^jZ die Integrationsconstanten als neue Veränderliche ein, so erhält man an Stelle der Gleichung 

 (1) die folgende: 



= F„,+ 1 (lf^+ ,+ ...+ i-; c//3 + Filf, 



indem die Coefficienten der Differentiale: dx^,. . .dx,„ identisch verschwinden. Man beweist in derselben 

 Weise wie oben, dass, wenn die Gleichungen (5) gleichzeitig bestehen, 



81ogi'; _ 8^,„4., ix,„+, 8^^ ^Xg dzj 



8.r,- ~ 8,c ' 8r,- + • • ■ + 8- 8u',- iz 



ist, also für alle p denselben Werth erhält. Die Coefficienten F enthalten also .r, , x^,. . ..r,„ nicht anders als 

 in einem allen gemeinsamen Factor, welcher übrigens nur für singulare Werthsysteme verschwinden kann. 

 Das Pfaff'sche Problem mit q + 1 Variabein wird also durch dieses Verfahren auf ein anderes mit 2 + 1 — in 

 Variabein reducirt. 



Aus diesen Bemerkungen ergibt sich der Charakter der Gleichungen (3) mit hinreichender Deutlichkeit: 



Statuiren nämlich die Gleichungen (3) zwischen den Variabein des Systems einen Zusammenhang, so 

 wird, wenn man dieselben integrirt, und die Integrationsconstanten als neue Variable einführt, das 

 Problem (1) in ein anderes mit weniger Variabein umgewandelt; und zwar ist die Anzahl der 

 Veränderlichen, um welche das Problem vermindert wird, stets gleich der Anzahl der linear abhän- 

 gigen Gleichungen in (3). Sind die Gleichungen (3) erfüllt, ohne eine Beziehung zwischen den 

 Grössen x^, x^,. .x,j zu involviren, so ist die (1) unbeschränkt integrabel. 



Wir bezeichnen demzufolge die Gleichungen (3) in der Folge als Integrabilitätsbedinguugen im weiteren 

 Sinne, geben denselben jedoch in unseren Anwendungen die Form: 



