Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 7 



Die lutegTalgleicliuugen dieses Systems führen auch zwischen den Grössen .r, , .r^,. ■ -.c,, Beziehungen ein; 

 der Ausdruck (1) wird also durch Einführung der Integrationsconstanten als neue Variable in ein Pfaff'sches 

 Problem verwandelt, dessen Behandlung indess bereits in unseren Lehrbüchern gezeigt zu werden pflegt. 



Das System (7) ist bestimmt; denn es enthält ebenso viele Gleichungen als Unbekannte, ein Umstand, 

 der, wie schon in der Einleitung bemerkt, bei Differentialgleichungen höherer Ordnung nicht wiederkehrt. 



Zweiter Abschnitt. 

 Die allgemeine partielle Differeutialgleidiung zweiter Ordnung mit zwei Independenten. 



4. 



Ist die allgemeine Gleichung zweiter Ordnung mit zwei Independenten vorgelegt: 



80 denken wir uns zunächst die Functionen von x und y : 



z,p,q,r,s,t, 

 so bestimmt, dass sie in derselben Ordnung, beziehungsweise für 



8^ Zz 3^2 8^2! 8^3 



eingesetzt, die gegebene Gleichung befriedigen. Es ist dann identisch 



= f{jx,y,z,2hq,r,s,t). (2) 



Dififerentiiren wir diese Gleichung zuerst nach allen x, dann nach allen y, und setzen hiebei 



8^ "^^ _ "^P ^2 "^P __ ^(J 



8^ ~'^' 8^ ~^' 8:^ ~ '■' 8":^ ~ 8^ ~ '' Vy~^' 

 sowie 



/SojN 80 8(fl 8tJ 8'j 

 (8-^) = 87+^^87+'- 8^ +'^8^ 

 und 



/8cp\ 8© 89 8n 8(0 



\tiyj cly ^ dz dp 82 ' 



so erhalten wir die beiden Kelationen: 



„ /^?> ^f ^'' ^f ^*' ^f ^f 



~ l87J "*■ 87' 87 "^ 87 ' 87 "•" 87 87 



^ /Zf\ Zf 8r d(j) 8s 8'^ 8/ 



V8(// dr "by 8s dy 8< dy 



Multiiiliciren wir umgekclirt die erste derselben mit dx, die zweite xmi dy, addircn und integriren, so 

 folgt: 



Const = <ij{x, y, z,/}, q, r, s, t)— j ^(dz—pdz-qdy)— j ^^ (^dp—rdx—ady)- j ^^ (dq—f<dx—tdy); 



wir können also, von einer willkürlichen Constanten abgesehen, die (2) durch jene (8) ersetzen, wenn nur die 

 Beziehungen 



dz -^zpdx+qdy^ 



dp =: rdx +sdy, (4) 



dq =r s'/,/' + tdy 



