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sfattfinden, wobei es an sich gleicligiltig ist, wie viele und welche Relationen zu deren Befriedigung verwendet 

 werden. Wiiiden wir aber aus allen Functionen z, p, q, r, s, t, welche die (2) befriedigen, jene aus, für welche 

 zugleich die (4) unl)cscluänkt integrabel werden, so ergibt sich aus denselben: 



3^! _ iz __ ci^z _ 2^z _ 3^0 

 3j ~^' 37 ~^' 3:? ~ ''' 3^ ~ "■' 87 



und das ~ dieser Gleichungen ist die gesuchte Lösung. 



Entwickeln wir zunächst die Integrabiiitätsbedingungeu für die erste der Gleichungen (4), so folgen nach 

 Anleitung der Formeln (8) des Artikels 3 die Relationen : 



dp = rSx + soy, oq =^ so.c + toij\ 

 also ist die Gleichung 



(h^=^piJx + qdlJ 



integrabel, — im weiteren Sinne — , wenn die beiden anderen Beziehungen in (4) bereits befriedigt sind. Es 



kommt also nur darauf an, diese letzteren integrabel zu machen. Die Auseinandersetzungen des vorigen 



Abschnittes geben für 



dp=^rdx+sdy 



die Integrabiiitätsbedingungeu : 



> ^>' -^ 2* N ^ ^r . 3s ^ ... 



^'■= 3:^°^+ 37°^' °^=37^-^+37^^' (^) 



für die Gleichung: 



dq-=.sdx-\-tdij 

 aber die Bedingungen: 



die Grössen z,p,q,)-,s,t sind also so zu bestimmen, dass sie den Gleichungen (3), (5), (6) gleichzeitig Genüge 

 leisten. 



Wir benutzen nun den vorläufig noch unbestimmten Factor Ä ", um mit dessen Hilfe aus den Gleichungen 

 (5) und (6) die beiden folgenden zu bilden : 



3r 3.^" . 3^ . ^ 



3a; 3.C ^ ^ 3x ■" 



(7) 

 '/* OS vir 



und erkennen sofort, dass die (5) und (6) gleichzeitig mit den (3) nur dann bestehen können, wenn die Rela- 

 tionen : 



ör + A"ds _ §s+l"df _ 8x _ Si/ + l"Sx _ l" dy 



,3a)\ /^9\ ^f ^f ^? (^) 



"" fei ~ I37J 87 37 3f 



befriedigt sind. Die drei letzten Glieder dieser Reihe: 



dx 'jy + A"Sx '^''öy 



3m 3u 3y 



37 37 37 



erhalten durch die Bezeichnung: 



fjy = A'Sx (P) 



