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womit die aufgestellte Behauptung bewiesen ist. Damit ist die Übereinstimmung mit den Entwicklungen des 

 vorigen Artikels hergestellt, wozu noch bemerkt werden mag, dass die Integrabilitätsbedingungen (5) und (6) 

 durch die Transformation des gegenwärtigen Artikels paarweise in die Gleichungen (15) übergehen. 



Denken wir uns nun auf irgend eine Weise eine Lösung der (15) gefunden, und in den (14) eingeführt. 

 Dann fällt x aus denselben heraus, und sie bleiben unverändert, wenn mau nach der Substitution des rich- 

 tigen s dem X einen beliebigen Werth ertheilt. Nach einem bekannten Schlüsse können dann die Eesultate der 

 Substitution unmittelbar angegeben werden, wenn man das System der sogenannten Hauptintegrale zu Grunde 

 legt. Bezeichnen wir also einen beliebigen concreten Werth von x mit x", die durch Einsetzung desselben in 

 die Integralgleichungen sich ergebenden Werthe der Dependenten mit 



,,,0 ^0 ,0 „0 ,0 40 



— wobei jedoch x" kein singulärer Werth sein darf — und führen diese Grössen an Stelle der f als Integra- 

 tionsconstante ein, so verwandeln sich nach gehöriger Bestimmung von s die (14) in die folgenden: 



rf^o = q'hhf, 



dp^-s'chf, (16) 



d<f =. f df, 



deren Integrale ohne Schwierigkeiten angegeben werden können. Setzen wir nämlich 



^0 = <!>(/), 



wo <!>(!/„) eine willkürliche Function von y" bedeutet, so folgt aus denselben: 



r/' = a.'(:y«i, ^» = <I."(y;), 



indem für die Ableitungen einer Function die Lagrange'sche Bezeichnungsweise verwendet wurde. Der 

 zweiten Gleichung in (16) wegen ist auch s" eine Function von //", denn setzt man 



/• = w(yj, 



so folgt 



r" endlich kann dann vermittelst der gegebenen Gleichung berechnet werden. Also erhalten wir nach Ermitt- 

 lung des s ein Gleichungssystem von folgender Gestalt: 



z" - (D(/), 5» = <!>'(/), t" = a)"l/),;V'= W(^"), «»= y*'(/), 'f\x'>,if,z\p\)-\ .s", /»i = 0, (17) 



und damit sind die Beziehungen hergestetlt, welche die Pf äff 'sehen Gleichungen (14) den Integrations- 

 constanten auferlegen. 



Dieses Resultat lehrt: 



Erstens, dass die Coustanten des Integralsystems als Functionen Einer von ihnen anzusehen 



sind und 

 Zweitens, dass das allgemeine Integral einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit 



zwei Independenten nie mehr als zwei willkürliche Functionen enthalten kann. 



Beide Bemerkungen sind offenbar nicht an den Gebrauch der Hauptintegrale gebunden. Die Einführung 

 der letzteren bringt die zwischen den Constanten einzuführenden Eelationen in die einfache, in (17) angege- 

 bene Gestalt, bei jedem anderen Systeme müssen dieselben direct aus den Gleichungen (14) ermittelt werden. 



Ist s bekannt, und sind die eben erwähnten Eelationen zwischen den Constauten gefunden, und in das 

 Integralsystem (11) eingeführt, so soll das so entstehende Integralsystem als das definitive Integral- 

 system bezeichnet werden. Es ist nun so beschaffen, dass die gesuchte Lösung ohne weilers angegeben 

 werden kann. Da es nämlich in sieben Gleichungen die neun Grössen ./■, y, z,p, q, r, s, t und //" oder die an 



