Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 13 



desseu Stelle gewählte indepencleute Integrationseoustaute eutbält, so resultirt durch Elimination der letzteren 

 und der Grössen p, q, r, s, t eine Gleichung, welche nur mehr z, x und y enthält, und otfeubar die gesuchte 

 Lösung ist. 



6. 



Den eben abgeschlossenen Entwicklungen gemäss werden wir im Folgenden eine der Integrations- 

 constanten dadurch auszeichnen, dass wir sie als Independente ansehen, während alle anderen als Functionen 

 dieser Einen zu betrachten sind. Diese unabhängige Constante bezeichnen wir durch f ohne Index, so dass 

 das noch zu bestimmende .s, welches in letzter Linie von x und ij abhängt, als Function von x und f anzu- 

 sehen ist. 



Ertheilen wir dieser unabhängigen Constanten einen unendlich kleinen Zuwachs of, so werden alle Inte- 

 grationsconstauten und daher auch die Variabein des Systems selbst und zwar ebenfalls unendlich kleine 

 Zuwächse erleiden, welche wir durch das Zeichen o kenntlich macheu wollen. Dadurch verwandeln sich die 

 Gleichungen (14) und (15) iu die folgenden: 



Z — üs—q^y = Q) 



P ^ dp — .so^ ^ 



Q = 5q-toij =0 



B = dr -4-Ä'os z — 01/ =^ 



dx ■' 



T=ös+X8t—^Sy = 



Die Variation einer beliebigen Function F der Argumente x,y,z,p,q,r,s,t ist dann gegeben durch die 

 Gleichung: 



oy dz op °<1 ör ös %t 



Definiren wir nun im Gegensatze zur Operation D' die Operation D" durch die Gleichung: 



~[dx) 85^ dr hi/J Ö^ dtl /' f/.r /' h- '' 8s ^^p 



8r ( it ' 



so finden wir sofort: 



^ (V8(/ J dx dr ^ X dx df \ ' 



und es wird: 



U"F-D'F ^ ^8F , „8F , . 8-F , /. ds ^ ^ 8F ,^, 1 dt , ^ 9F 8F 



/. — / *' tiz öp " tiq 



Es ist aber: 





dx • /' dx •' A _ '^ 



daher ist auch : 



, D"F —D'F . 8F 3F _8F ,8F 1 „,8F . (.,8F 8F 1 8F| 



oder endlich : 



„8F^p8F „8F ^,8F 1 8F ,^, U'F^D'F ^ .V.'^F 8F 1 8Fi 



