14 Victor Sersawy. 



Diese Gleichung ist eine identisclie, das heisst, sie gilt für jedes F, und wir erkennen aus derselben, 

 dass die Ausdrücke : 



Z,F,Q,B,T, 



wie es in unserer Absicht liegt, den Werth Null erhalten, wenn es gelungen ist, die Relation 



durch fünf, bezüglich der Grössen z,j},q, r, t von einander unabhängige F zu befriedigen. In der That folgen 

 dann aus (18) fünf lineare homogene Gleichungen, in welchen Z, P, Q,R und T als Unbekannte angesehen 

 werden können. Die Werthe derselben müssen also wegen der nicht verschwindenden Determinante mit Null 

 zusammenfallen. 



Die Definition von D" unterscheidet sich von jener der Operation D' nur darin, dass in D"F überall l" 

 steht, wo in D'F X' zu finden war, und umgekehrt a' an die Stelle von Ä" getreten ist. Ist also D" F=i 0, so 

 ist F ein Integrale jenes Ditferentialsystems, welches aus dem bisher Betrachteten durch eben dieselben 

 Vertauschungen entsteht. Dieses Differentialsystem, welches auch dadurch gewonnen wird, dass man von 



vornherein ~ nicht mit Ä', sondern mit X" identificirt, bezeichnen wir im Gegensatze zu dem ersten als das 



(IX 



zweite Differentialsystem und wird dasselbe integrirt, indem .s abermals willkürlich bleibt, so muss jedes 

 Integrale dieses Systems die Gleichung 



,2F Si*' 1 "öF 



identisch befriedigen. Nimmt man also in (19) für /'" ein Integrale des zweiten Systems, so verschwindet der 

 Coefficient von o.s, sowie D" F identisch, und es entsteht die Gleichung : 



D'F 



Wäre nun F zugleich ein Integrale des ersten Systems, so würde auch D' F verschwinden, und nur mehr 



zu machen sein. Wie leicht einzusehen, gibt es, so lange .s unbestimmt bleibt, ausser dem © keine Function, 

 welche beiden Systemen zugleich als Integrale angehören könnte. Eine Function dieser Art müsste nämlich 

 sowohl die Gleichung (20) als auch jene (13) befriedigen, was offenbar nur durch y selbst geleistet wird. 

 Stellt man also das Verlangen, dass eine Function F Integrale in beiden Systemen sein solle, so kann dies nur 

 durch eine entsprechende Wahl für s hervorgerufen werden. Da nun die Gleichung (19) durch fünf von ein- 

 ander unabhängige F erfüllt werden muss, jedes der vorhandenen Systeme aber nur fünf von einander unab- 

 hängige Integrale besitzt, aus denen mit Hilfe der gegebenen Gleichung alle anderen Integrale zusammen- 

 gesetzt werden können, so ist der gesuchte Werth von s derjenige, welcher sämmtliche Integrale des einen 

 Systems in Integrale des anderen verwandelt. Bezeichnen wir nun die Integrale des zweiten Systems — es 

 ist hier wie überall die allgemeinere Form vorausgesetzt — durch 



so ist durch die Gleichungen 



9i—h{9) — F^, 

 zwischen welchen in Hinsicht auf die gegebene Gleichung eine Relation von der Form : 



^i9,h,'P.---^,) = &iJ''uF„...F,) = 



