Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 15 



bestehen muss, die allgemeinste Form eines voUstäudigeu lutegralsystems gegeben, und der gesuchte Werth 

 von s ist derjenige, welcher diese fünf Integrale des zweiten Systems in Integrale des ersten Systems verwan- 

 delt, das heisst, die Grössen t\,l\,...Fr^ in Functionen von f\.f^,- ■ -fr, überfuhrt. Setzt man endlich diese 

 Functionen gleich Null, was zur Folge hat, dass /',,.. .f\ als Functionen von /' dargestellt werden können, 

 wie bereits oben von der Theorie gefordert wurde, so wird auch ^F= und damit die Gleichung (19) voll- 

 ständig befriedigt. Die Bestimmungsgleichungen für s erhalten also die Gestalt: 



.'/.—^, (.'/) = 0, ./,— ^,(^) = 0,...,y,— ^,((/) = 0, (21) 



und setzt man in diesen Gleichungen für die Variabein des Problems deren Werthe aus dem ersten Integral- 

 systeme, so erhält mau aus denselben nicht nur den gesuchten Werth von .s, sondern auch die zwischen den 

 Constanten einzuführenden Relationen. 



In der That, bezeichnen wir irgend einen der Ausdrücke in den linken Seiten von (21) wieder mit F, so 

 ist identisch die Gleichung: 



' "37 ^ "äs" "*" V "8? 



erfüllt. Ein Integrale, welches weder r noch t enthält, kann also auch kein »■ enthalten. Demnach gibt es nur 

 zwei von einander unabhängige Integrale, welche die Grössen zweiter Ordnung c, s und t enthalten, aus allen 

 anderen Integralen des vollständigen Systems können dieselben gleichzeitig zum Ausfall gebracht werden. 

 Unter den linken Seiten in (18) befinden sich also ebenfalls nur zwei, welche bezüglich B und T von einander 

 unabhängig sind, während ans allen anderen diese Grössen gleichzeitig eliminirt werden können. Diese letzteren 

 Gleichungen erzeugen also, gleich Null gesetzt, keine Bestimmungsgleichungeu für .s. Übrigens verschwindet 

 die rechte Seite in (18) auch für F=^ f, man kann sonach aus den noch in Rede stehenden Gleichungen T 

 entfernen, so dass für s nur eine Bestimmungsgleichung übrig bleibt. Es genügt daher auch, eine der Glei- 

 chungen (21), wenn nur in derselben s enthalten ist; denn bestimmt man daraus dieses letztere, und führt den 

 gefundenen Werth desselben in die (14) ein, so verwandeln sich dieselben in Pf äff 'sehe Probleme, aus denen 

 die noch fehlenden Relationen gewonnen werden können. Ich befolge in den weiter imten mitgetheilten Bei- 

 spielen in der Regel diesen Weg, da er zugleich als Controle der Rechnung dient. 



7. 



Indem ich mich nun zur Darstellung der praktischen Rechnung wende, will ich zunächst einige einfache 

 Fälle anführen, um hieran die Erörterungen über den allgemeinen Fall anzuschliessen. Selbstverständlich 

 liegt die eigenthümliche Schwierigkeit des Problems immer in der Bestimmung von s; ich hebe also zunäclist 

 einige Fälle hervor, in welchen diese Bestimmung verhältnissmässig leicht vollzogen werden kann. 



Dies ist insbesondere der Fall, wenn in beiden Integralsystemen je zwei Integrale existiren, welche keine 

 Quadraturen über .s enthalten. Bezeichnen wir dieselben respective durch F,f, G,(j, so ist auch in den Glei- 



chungen ; 



F—x(f) = und G—^ig) = 



keine Quadratur enthalten, und man kann die Grössen r, s und f sofort durch die Variabein des Problems aus- 

 drücken. Substituirt man den erhaltenen Werth in eines der Differentialsysteme, so entsteht eine Ditfereutial- 

 gleichung, mit derenHilfe dasselbe System vervollständigt werden kann. Enthalten voranstehende Gleichungen 

 nur r, s, t, x und ij, so sind durch dieselben und die gegebene Gleichung sofort die wahren Werthe von /•, s, t 

 bestimmt. 



So verhält es sich beispielsweise bei der sehr bekannten Gleichung : 



r-a^t = 



Die Gleichung (10) ist hier: 



X^— a^ = 0, 



