Die Iittegradoii der jiarticllcii Dijfeirnfialglelc/mngen. 17 



Die letzte Gleichuug in (14) gibt in gleicher Weise: 



und endlich die erste: 



^rs-f,°fi=^- 



Die Integrale dieser Relationen sind gegeben durch die Gleichungen: 



womit nun alle nothwendigen Beziehungen gewonnen sind. 

 Mit dem gefundenen Werthe von s folgt ferner: 



fsclx = —ax <D" (/•,) + ~ ^f'if, +2ax), 



und das definitive Integralsysteni wird: 



p=-a^'(f^) + a^'{f^ + 2ax) 



r — a'-<^"{f^ + a}-^"{f^ +2«a:) 

 s— -ffl*&"(/-,)+«qf"(/',+2aa;) 

 t- O" (/■,)+¥" (/•,+2aa;) 



und indem man noch in dem Ausdrucke für ;; an Stelle von /", , dessen Werth aus der ersten Gleichung setzt, 

 erhält man die wohlbekannte Lösung: 



z = <!>(«/— aa;)+'P(2/+«a;). 



Auch dann, wenn nur eines der beiden Integralsysteme Quadraturen enthält, tritt eine Vereinfachung ein. 

 Sei etwa: 



F-ySf) = («) 



ein Integrale des ersten Systems, welches von Quadraturen frei ist, während in allen Integralen des zweiten 

 Systems Quadraturen auftreten, so wird das Resultat, welches durch Substitution der Integralwerthe aus dem 

 zweiten Systeme in (a) entsteht, ebenfalls Quadraturen enthalten. Da aber die letzteren bei constantem g aus- 

 zuführen sind, sind sie durch die Operation B" aufhebbar, und man kann durch fortgesetzte Anwendung 

 dieser Operation immer so viel Gleichungen erzeugen, als zur Elimination der Integrale nothwendig sind. 

 Das Eliminatioiisresultat ist eine Differentialgleichung für s, in welcher das letztere mit dem Zeichen D" 

 behaftet ist; die Integrationsconstanten sind also als Functionen von cj anzusehen. 

 Als Beispiel hiefdr mag die Gleichuug: 



x'^r — ißt = 



dienen. Sie liefert für X die Werthe : 



X' = --^, X" = ^ 



X X 



Deakschrit'teu der matUom.-uuturvv . CI. XLIX. ßd. Abhaudluugeu vou Nichtmitgliedern, (j 



