20 Victor Sersawy. 



Wie ersicbtlicli, ist die Eechuniig davon unabhängig, ob Integrale ohne Quadraturen gefunden werden 

 können oder nicht, eine Bemerkung, welche nicht ohne Wertli ist, wenn man bedenkt, dass die Auffindung 

 von Integralen ohne Quadraturen, — wenn solche überhaupt existireu — in der Regel mit grossen Schwierig- 

 keiten verbunden ist. 



Im Allgemeinen hat weder das eine noch das andere Integralsystem von Quadraturen freie Integrale. 

 Die Bestimmungsgleichung für s enthält dann Quadraturen von zweierlei Sinn, das ist sowohl solche, welche 

 aus dem ersten System, als auch solche, welche aus dem zweiten System herstammen. Man kann nun, wie 

 sogleich gezeigt werden wird, durch hinreichend fortgesetzte Anwendung eines der Operatiouszeichen D' oder 

 D" immer die eine Art von Integralzeichen entfernen, und erhält als Resultat eine Gleichung, welche noch 

 Quadraturen der zweiten Art in sich fasst. Denken wir uns, um die Vorstellung zu fixiren, unsere Absicht 

 dahin gerichtet, die Integrale des zweiten Systems zu eliminiren, so entstehen unter den verschiedenen, im 

 Eliminationsresultate noch verbleibenden Integralzeichen des ersten Systems Ausdrücke von der Form: 



B{x,s,D"s,D"-'s,..:) 



und die Bestimmungsgleichung für .s erhält die Gestalt: 



Oz=^(R^,J B^ d'x, Ji?3 d'x, . . . ) , (ß) 



worin abermals der Charakter der Integrationen durch einen dem Diflferentiationszeichen d angefügten Accent 

 auch äusserlich kenntlich gemacht worden ist. 



Ein jeder Versuch, durch Anwendung der Operation D' auch die noch verbliebenen Integrale erster Art 

 zu entfernen, führt zu Gleichungen, welche Differentialquotienten von der Form : 



D'(')Z)"(*)s 



enthalten, also neuerdings zu partiellen Differentialgleichungen , deren Ordnung überdies die der gegebenen 

 Gleichung in der Regel übersteigt. Es gibt also nur eine Möglichkeit, die Integrale der ersten Art zu entfernen 

 und diese tritt dann ein, wenn es gelingt, aus den Gleichungen, welche durch successive Anwendung der 

 Operation D'' gewonnen werden, eine andere zu bilden, in welcher jene 11, welche sich unter Integralzeichen 

 befinden, als Functionen des von Integralzeichen freien R dargestellt werden können, ohne dass s selbst oder 

 eine der Operationen D' oder D" hiebet zur Verwendung kommen. In der That, ist 



ü'j = (Ji^^x,R^) 

 R, =: (jii{x, 2?,), 



so kann man durch successive Anwendung der Operation D' die Integralzeichen erster Art aus (ß) entfernen 

 so dass schliesslich R^ durch eine Beziehung zwischen 



x,R^,D'R^,D'^R^,... 



gegeben ist. Die Integration dieser Gleichung, bei welcher die Integrationsconstanten als Functionen von f 

 anzusehen sind, gibt 7i', , und indem man für dasselbe dessen oben detinirten Werth setzt, erhält man eine 

 Relation zwischen 



x,s,D"s,D"^s,... 



deren Integration endlich zu dem gesuchten Werthe von s führt. Bei der letzteren Integration sind selbstver- 

 ständlich die Integrationsconstanten als Functionen von g zu betrachten. 



Es erübrigt also noch zu zeigen, dass die bei der Anwendung der Operation D" unter den Integralzeichen 

 erster Art auftretenden Ausdrücke in der That auf die angegebene Form gebracht werden können. 



