Die Integration der imrtiellen Diferentialf/leichiimjcn. 2^ 



Dass dureli' geeignete Verbindung der so erhaltenen Gleic'.inngen jederzeit eine andere gebildet werden 

 könne, aus welcher zunächst R^ und mittelbar *■ sich berechnen lassen, kann a priori nicht nachgewiesen 

 werden. Im Gegentheile, es gibt unendlich viele Gleichungen, in welchen diese Forderung einen sachlichen 

 Widerspruch bedingt. Es ist dies in der Regel ein Beweis, dass das unbekannte .s Transcendenten enthält, 

 welche durch Ditferentialgleichüngen mit ganzzahligem Ordnungsindex nicht definirt werden können. Dann 

 muss man also die vorhandenen Gleichungen entweder durch Transceudente, welche hiezu geeignet sind, zu 

 integriren suchen, oder zur Reihenentwicklung schreiten. 



Für den practischen Gebrauch empfiehlt sich in mehreren Fällen eine zweite Diiferentiationsregel für 

 Integrale von der Form: 



nämlich : 



D"J = J D"S . d'x + j ^{D'iy'y—D"D'ij) d'x . 



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 Sie stammt aus der leicht zu beweisenden Formel : 



D'D" J—D"D' J=^ {D'D"y—D"D'y) , 



und zeigt insbesondere, dass, wenn 



D'D"ij—D"D'y = 0, 



die Differentiation nach dem Zeichen D" einfach unter dem Integralzeichen ausgeführt werden kann. Dieser 



Fall tritt insbesondere dann ein, wenn X' und X" absolute Constante sind. 



Es sei die Gleichung gegeben : 



2v» 

 r-t=-!-, 



X 



worin v zunächst als ganzzahlig und positiv vorausgesetzt wird. Wir erhalten hier für X die Gleichung: 



X^— 1 =0, 

 und setzen demzufolge: 



X' = l, X"=-l. 



Es genügt, wenigstens soweit es sich um die Bestimmung von s handelt, in beiden Systemen nur die 

 Gleichungen 



D'y^\, D"y=-1, 



X X 



zu integriren. Danach wird im ersten Systeme: 



y^x — /■ oder fz^x—y 



und 



im zweiten Systeme 



Wir bilden also die Gleichung 



' X 



// = (/ — X oder y^^x + ij. 

 <-s + 2v I — y^{x—y^ — *d, 



