Die Integration der partieUe}i DIfferenfialgleich/nirjen. 25 



So ergibt sieb beispielsweise für v =: 3, das heisst für die Gleichuug: 



r — t ^ ^^ 



X 



das Integrale 



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Ist V eine negative ganze Zabl, bat also die gegebene Gleichung die Form : 



X 



so kann man das Integrale 



t—s—2v [ ^ d'x—x(^—y) = ö, 



welches im gegebenen Falle an die Stelle des im Vorhergebenden zu Grunde gelegten treten würde, nicht 

 zum Ausgangspunkte der Rechnung nehmen, da wie ersichtlich durch fortgesetztes Differentiiren eine Iden- 

 tität wie im früheren Falle nicht erzielt werden kann. Wir benutzen daher ein Integrale, welches sich aus der 

 Integration der Gleichungen: 



x^ X 



D'p ^ r+s 

 ergibt, nämlich das Integrale : 



[(2v + l)r— 2v.9— <];r-'+' +Av .v-^\ . ^ x"-' sd' x—<b(x-y) — 0. 



Differentiirt man nun nach dem Zeichen D" und setzt für die auftretenden Diflferentialquotienten 



D"r, D"t 

 deren Werthe aus dem zweiten Systeme, so folgt: 



—ix?'-^' i)"s + v.c2's) + (v + ]) J (a;='Z>"s + 2vj;'-'s)(/'x--2<I>' = 0, 

 und diese Gleichung verwandelt sich durch die Substitution 



s = ux~^^''+^> 

 in die nachstehende : 



_ rz>"«-(v+i)^] +(v+i) ('r^_Jii(/'x-2<D' = o, 



welche im früheren Falle ein Analogon besitzt. Wir schliessen hieraus sofort, dass s die Form: 



S =: 



i=o 

 also z die Form : 



Z' C,f"'^ (x-y) + D, f^) (x+ij) 



_ v-i' Ai<f<-''){x —i/) + Bt^''(x+y) 



x-'~ 



besitzt. Die directe Berechnung der Coefficienten aus der gegebenen Gleichung gibt dann : 



A^ B^ k 





li 



Deuköchriiten der mathem.-nalurw Cl. XLlX. Bd. Abhandlungen von Nichtinilgliedern. 



