Die Iiifi'(jra//oii der partiellen Diff'erentialgleickmnjen. 27 



Die Bestimmungsgleichung für s wird demnach : 



s * 



xD"s+ ^ = <1> (3a; 3 — cy), 



und hieraus fliesst für s die Relation : 



1 1 I 



X ^ s-=: f {3x * +cy) +i|'(3.c - —oj), 



Das allgemeine Integrale der gegebenen Gleichung ist: 



- - -r - - 1 



z = 'i>{5x ^ +CI/) +iy(2,rä -cy)—3x ^[<P'{3x^ +(.y)+W(3,z-' —ci/)] 

 Die vorliegende Gleichung ist übrigens nur ein specieller Fall der aligemeinen Gleichung : 



{2v + lfx^^^r—t = 0, 



welche durch die Substitution: 

 in die neue Gleichung: 



■2v+l 



x=^- 



8f ~ äp ~ T äl 



übergeht und für ganzzahlige v im Vorigen bereits erledigt ist. 



Die Erörterungen dieses und des vorigen Artikels beruhen auf der stillschweigend gemachten Voraus- 

 setzung, dass die beiden Wurzeln A' und 1" der Gleichung (10) und daher auch die beiden Differentialsysteme, 

 von denen die Rede war, von einander verschieden sind. Es genügen einige kurze Bemerkungen, um auch 

 den Fall gleicher Wurzeln zu erledigen. 



Denken wir uns die beiden Wurzeln für den Augenblick noch verschieden, so muss, da die aus denselben 

 entspringenden Ditferentialsysterae beim stetigen Übergänge des Ä" in X' in eines zusammenfallen, es möglich 

 sein, jedem Integrale des einen Systems ein Integrale des andern Systems so zuzuordnen, dass beim stetigen 

 l'bergange von X" zu /' das letztere mit dem ersten zusammenfällt. Ist also, wie früher, F irgend ein belie- 

 biges Integrale des zweiten Systems von der Form 



so verwandelt sich die Gleichung (19) in die folgende: 



— f^^^ — ^^' ^ ''' ^^ (e) 



~ ("87 j '^ d^ J7 '^ V 17 'ü 



und ))eim Grenzübergange ziehen sich die hierin enthalteneu Ableitungen von F auf die gleichnamigen Ablei- 

 tungen eines dem ersten Systeme angehörigen Integrales 



zurück. Man kann also die Bestimmungsgleichung (s) direct aus einem Integrale des ersten Systems ableiten; 

 sie enthält nur Bestandtheile des ersten Systems und setzt der Berechnung von a keine anderen Schwierig- 

 keiten entgegen, als die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen überhaupt. 

 Die Gleichung 



,.i_s2 = 

 gibt für a' und Ä" den gemeinsamen Werth 



t s ' 



tl* 



