Die Integration der partiellen DiJferentiuUjleidiuiujen. 29 



uud hieraus abermals die Lösung: 



= x^'{q) + ij-^'{q). 



8. 

 Im Artikel 4 wurde vorausgesetzt, dass beide Wurzeln der Gleichung (10) endlich uud von Null ver- 



schieden seien oder, was dasselbe ist, dass weder -^ noch -^ den Werth Null anuehme. Indem ich mich nun 



or Ol 



zur Behandlung dieser speciellen Fälle wende, will ich zunächst darauf aufmerksam machen, dass der Fall, 

 in welchem eine der beiden Wurzeln bestimmt und endlich, die andere aber unendlich ist, immer auf den 

 anderen zurückgeführt werden kann, in welchem die eine Wurzel ebenfalls bestimmt und endlich ist, die 

 andere aber den Werth Null annimmt. Man kann nämlich statt der Gleichungen (7) des Artikels 4 auch die 

 folgenden : 



^". '^r + os = 1^ X". 5x+ ^ (X", 5y+Bx) +^.5y 



X", OS + of! = -^ X"j ox + g^ (X", Q y + o.c) + g^ • % 



benutzen , was dieselben Folgen nach sich zieht, als ob man statt X" den Factor -777- eingeführt hätte. Setzt 

 man nun 



so resultiren die Beziehungen: 



so dass X', und X", der Gleichung: 



Genüge leisten. Die Wurzeln dieser Gleichung sind aber die reciproken Werthe der Wurzeln der Gleichung 

 (10), womit unsere Behauptung bewiesen ist. Wie vorauszusehen war, besteht diese Zurückführung im 

 Wesentlichen darin, dass in dem zu construirenden Differentialsysteme // als die unabhängige Variable ange- 

 sehen wird. 



Somit können wir uns auf den Fall 



tt 



beschränken. Die Gleichungen (3) des Artikels 4 lauten dann : 



,89 ^ 8y 8?- 8'j3 8s 

 \ox / Cr ox OS ox 



/8^ N 3y 3y 8a 3s 

 V8_y/ 3/' 'dy 8s ^y 



und, da aus denselben ■^— und ^^ entfallen sind, genügt es, die Integrabilitätsbedingnngen (5) in Anspruch 



d,r iy 



zu nehmen. Man ersehliesst solcher Art das folgende System von Proportionen: 



dr ds dx dy 



^[h}\~ -[h^'~'^-L~h_■ 

 \ix) [dyj 8r 3.S 



