/)/e Iii/iynifioii der iHirtiellen Differentialgleichungen. 33 



Setzt man insbesondere: 

 so folgt 



und den Werthen 

 entsprechen die Werthe 



Zugleich ist klar, dass man die Einführung neuer Null- oder Unciidlichkeitswcrthe immer vermeiden 

 kann. Sonach kann man singulare Werthe von X durch eine lineare Transformation entfernen, und dadurch 

 kehrt das Problem unter den allgemeinen Fall zurück. 



In Folge dessen kann die Gleichung 



s = 



ebenfalls nach der allgemeinen Methode behandelt werden. Die beiden Ditfereutialsysteme lauten: 



(Ix dl/ dz dj) dq ds __ dt 



1 ~ ~ ^j "~ /• ^ s ~ p q 



dx dij _ dz dp _ dg __ dr _ ds 



0'~l'~q^s^t~2^~q 



Aus dem ersten System folgt sofort: 



p—Jrdx = f{y), 



und indem man mehrmals im Sinne des zweiten Systems diiferentirt, schliesslich: 



D"t-Jtd'x-f"Uß, 



eine Gleichung, welche durch die Supposition: 



t m ii-A,,, 2,,,, 1 „i ^^ Ä,„ -Im 7 J-Am"3; '^Z 5t„,-A-,„ + 7m) 



in welchen .Y,,. eine Function x, Y,„ eine Function von y allein bedeutet, und die Summe in f auf beliebige m 

 bezogen werden kann, befriedigt wird. Damit folgt 



— +amtj 



z — ^Ar^e"^ , 

 aus welcher Lösung leicht die bekannten Formen hergestellt werden können. 



Dritter Abschnitt. 

 Die allgemeine partielle Differentialgleichung 2>ter Ordnung mit zwei Independenten. 



9. 



Indem wir nun zur Integration der allgemeinen Gleichung ^>ter Ordnung mit zwei Independenten über- 

 gehen, stellt sich das Bedürfniss ein, eine übersichtliche Bezeichnungsweise einzuführen. 



Die allgemeine Gleichung ^^ter Ordnung mit zwei Independenten enthält neben diesen Independenten, 

 die wir wieder mit ./; und y bezeichnen, die Dependente z und alle Ableitungen bis zur jt^ten Ordnung, welche 

 durch successive Differentiation nach ,;; und // erhalten werden. Wir werden dieselben zunächst durch gewisse 

 Functionen von x und // ersetzen, denen wir vor der Hand nur die eine Eigenschaft auferlegen, dass die gege- 

 bene Gleichung identisch befriedigen, und zwar soll diejenige Function, welche an Stelle des Differential- 

 quotieuten 



Deukschrilleii ik-r niatlieui.-n.ilurw. Cl. XI.IX. Üd. AbliaiuUuiigeu vou Nichtmitgliedern. 



