Die Intecirdfion der j^'tiiiellen Diß'erentiulgleichi(nge)L 35 



befriedigt siiul. Dies findet aiieli dann statt, wenn die voranstellenden Gleieliungcn (3) nicht nnbescbränkt 

 integrabel sind, sind aber die letzteren unbeschränkt integrabel, so folgt aus denselben: 



und das Problem ist gelöst. 



Heben wir nun irgend eine der Gleichungen (3), etwa die folgende: 



(ho:,ß) = (ci + l,ß)dx + (a,ß + l)di/ 



der Gruppe (3„+p) heraus, so lauten nach den Gleichungen (8) des Artikels 3 die lutegrabilitätsbedingungen 

 für dieselbe 



fJ(cc + l,ß) = U + 2,ß)(lx + U + l,ß + l)(hf, 



d(<x,ß+]) = {a-i-l,ß + l)(1x+{a,ß + 2)di/. 



Diese sind, so lange {cr. + ß)<:p, unter den Gleichungen der nächstfolgenden Gruppe (3,^_f,^.|) enthalten, 

 so dass die Gleichungen irgend einer der in (3) formirten Gruppen zugleich die lutegrabilitätsbedingungen 

 für die Gleichungen der unmittelbar vorhergehenden Gruppe sind. Daraus folgt , dass wir nur für die Glei- 

 chungen der letzten Gruppe besondere lutegrabilitätsbedingungen aufzustellen haben. Diese lauten: 



d(]),0) = — 1^ dx+ ' g^, ' dl),. ..,d(])—i,i) —^^ dJ:-^-—^ ^^ (///, . . .,(Z(1,^-1) = 



8(1,^-1) 8 KV) ; 



. . SOj,0) , 9(/) — 1,1), ,, . , . ,, 3(7^— /,f) , 3(;j— /-1,/+1) , ,,^ . 



d{p—\,\)—-i^dx~^---i-^^ d,i,...,d(p-i—\,i + \)=~^^ dx+—^ di/,...,d{p,p) = 



—^ dx + '^ dij 



und sind sogleich so geordnet worden, dass in der ersten Zeile alle jene zusammentreffen, welche Ableitungen 

 von ./; enthalten, in der zweiten dagegen alle jene, in denen Ableitungen nach t/ auftreten. 

 Wir bezeichnen nun^ vorläufig noch unbestimmte Factoren durch die Zeichen: 



[p-l,0],[p^2,l],. . .,\p-i,i-l],. . .,[0,p-l], 



und bilden die Gleichungen: 

 \p-l,0]d(p,0)+...[p-i—l,i]d(p-i,i)+...+[0,p—l]d(l,p—l)=: 



= %- b-i,oj./..+ . . . + ^li^J[,.-/-i,/]./x+[,.--/,/-i] } d,+ . . . + ^[o,,._i].r,, (5) 



\p-l,0]d(p-l,l)+ ■ • • +\p—i,i-\]d(p—i,i)+ . . . +[0,p—l]d(0,p) = 



- '^^^'^ [,.-i,oj ,/.+ . . . + 'Slz:hiL\ip-i-i,ii dx+\p-;,^-i][ d,,+ ... + Mili [o,p-i\dy. 



Verglichen mit den (2j führen dieselben zu den Proportionen: 



