Die Integration der partiellen DifferentiaUjleiehungen. 39 



Gleichungen von der Füi'ui : 



worin das Zeichen S auf alle Integrationsconstanten zu beziehen ist, und a+ß alle ganzen Zahlen von bis 

 p — 1 bedeuten kann. Aus denselben ist dx entfallen, es muss also auch x aus ihnen entfernt werden, das 

 heisst, die in denselben auftretenden bisher noch unbestimmten Grössen (10) müssen so gewählt werden, 

 dass die linken .Seiten dieser Gleichungen (12), wenn sie der Operation D^ unterworfen werden, die Null zum 

 Resultate geben. 



Betrachten wir zunächst eine Gleichung, für welche 



a+|3<p— 1 



ausfällt und differentiiren dieselbe nach x, so erbalten wir: 



also mit Rücksicht auf das System (9) 



(1 

 d. 



^Z[^-f-'-^*4]'"-=3^^—^-"^)"^-'-.I[^^-*-^-4]*- 



Es folgt hieraus, dass die Variable a; aus allen Gleichungen (12) von selbst entfällt, wenn dies durch 

 geeignete Wahl der Grössen (10) bereits bei jenen bewirkt worden ist, für welche 



a + ß = p — 1. 

 Ist dies nämlich geschehen, so ist es möglich, die Ausdrücke 



3^-(«,ß + l)|.]<//-=0, .^ß=p-l 



durch Beziehungen zwischen den Constanten auf den Werth Null zu bringen, die vorhin entwickelte Identität 

 zeigt aber, dass dann aus den Gleichungen, für welche x+ß ^ip — 2, das x zum Ausfall kommt, und durch 

 Wiederholung dieses Schlusses beweist man, dass in Folge der gemachten Annahme in der That in allen 

 Gleichungen (12) x zum Verschwinden gebracht werden kann. Somit genügt es, jene Gleichungen 



3(<^> ,..0.1,2.'/ 



zu erfüllen, in welchen a + ß den Werth ^j — 1 besitzt. 



Die Ausführung der hier angezeigten Operation ergibt nun die Gleichungen : 



11 8/- ' ^7 ^ '-^^ ^J ' ' 



in welchen der Kürze halber für die Ableitung einer Function u nach x die Lagrange 'sehe Bezeichnung 



du 



dx 



benützt worden ist. 



