Die Integration der iMrtiellen Bißereiitiali/leichimgen. 4 l 



i=p—i 



1=0 





In dem letzten Ausdrucke ist das äussere Summenzeiclien nur über jene Glieder zu erstrecken, für welche 

 a + jS^j) — 1, da jene, für welche die Indexsumme ^ wird, sich bei der Subtraction gegenseitig tilgen. In die 

 rechte Seite der letzten Gleichung treten also nur die linken Theile der Gleichungen (12) ein, was beweist 

 dass zwischen den Gleichungen, welche noch befriedigt werden müssen, eine lineare Beziehung besteht, und 

 daher eine derselben eine Folge aller anderen ist. Damit ist aber unsere Behauptung bewiesen. 



Denken wir uns nun die unbestimmt verbliebenen Grössen (10) so gew.äblt, dass die (13) befriedigt sind 

 so fällt X aus allen (12) heraus. Führt man also die Hauptintegrale ein, indem man die Weithe der Depen- 

 denten des Systems (9), welche einem concreten, nicht singulären Werthe x" des x entsprechen, also die 

 Grössen 



yM.^,ßr 



als Integrationsconstanten wählt, so reduciren sich die Gleichungen (12) auf Gleichungen von der Form: 

 worin die Summe a + /3 alle Werthe von bis p — 1 erhalten kann. Da hieraus folgt: 



SO erkennen wir, dass die Werthe der Constanten, welche den (12) Genüge leisten, Ableitungen derj? Grössen 



(0, 0)°, (1,0)», (2, 0)», ...(«, 0)», . . . (p-1, 0)« 

 sind, welche schliesslich willkürlich bleiben. Setzen wir also 



(«,0)»=cl>,(y«), 



WO a von Null bis p — l variiren kann und die *!>„, willkürliche Functionen sind, so ist: 



(0,0)» = cl>„(/),(0,l)" = .l>'„(y»), (0,2)» = .!.';(/), ,(0,^.)'' = <1V^"(/); 



(i,0)» = a>, (//»), (1,1 )» = .]>',(/), ,(i,^,_i)« = ci>,ü-.)(^o,. 



(2,0)"=*^ (y»J, I2,p-2f = %i>'-^)i:y^); 



0^-1,0)» = <lv_, {,/], (/>-!, D« = <i>\._, {if); 

 und hierin ist allgemein : 



zu verstehen. 



Aus diesen Formeln ergeben sich zwei wichtige Folgerungen, nämlich: 



erstens, dass alle Integrationsconstanten als Functionen Einer von ihnen anzusehen sind und 

 zweitens, dass das allgemeine Integrale einer partiellen Differentialgleichung j/j ter Ordnung mit 

 zwei Independenteu nie mehr als p willkürliche Functionen enthalten kann. 



Beide Folgerungen sind offenbar nicht an den Gebrauch der Hauptintegrale gebunden. Benützt man irgend 

 ein anderes vollständiges Integralsystem, so müssen die zwischen den Constanten einzuführenden Relationen 

 direct aus den Gleichungen (12) genommen werden. 



Deukscliriften der mathüm.-naturw. C(. XLIX.Bd. Abhandlungen von Nichlmitglicdern. f 



