Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 47 



Wir crhalteu sodann 



8F 



•dF 



.p.-2,l]. 



Ö^,0J 





3^ r^_/,,:_ll 8i^ [1,^^-21 



-L i.. J"^' ro.»-ii '••■' 8F -y 







und fok'ern hieraus, dass die Gleichung 



»• 



8lJ^,0j ^O'J— M 8(J^— *,'j n*^)i^) 



die Wurzeln: 



Aj , Aj , . . . A i_ 1 , A ,■+ 1 , . . .Kp 



mit der Gleichung (7) gemein hat; die Wurzel X,- ist abgeworfen, und dafür die Wurzel 



, _ 1 Whp) 



0,_?;— 1] rO,»— 11 3F 



rri ["1 



aufgenommen. Die letztere kann, wenn F von y verschieden ist, nicht mit A, zusammenfallen, da aus dieser 

 Annahme, wie leicht zu sehen, alle 



8(j;,0) 8(jj,0) 



folgen, und daher F entweder eine Function von f oder diesem letzteren gleich sein müsste; Beides wieder- 

 spricht der Voraussetzung. Daher kann es auch, so lange die Grössen (10) willkürlich sind, ausser f keine 

 Function geben , welche in zwei Systemen zugleich Integrale sein könnte, da in diesem Falle die Gleichung 



(21) alle Wurzeln mit (7) gemeinsam haben müsste. 



dl< . dF 



Wir ziehen aus den (20) noch eine weitere Folgerung. Verschwinden nämlich - — — und ^-7^ — -, so 



^ ' 00 8(^j,0) oi^,I>) 

 8 F 

 erhält auch ^r — ^ den Werth Null, das heisst, wenn ein Integrale weder (^^,0) noch (0,2)) enthält, so kann 

 8{a,]3) 



es auch keine andere Ableitung |)ter Ordnung enthalten. Berechnen wir demnach aus zwei Integralen des /teu 

 Systems die Grössen (j:>,0) und {0,p), und setzen deren Werthe in ein drittes ein, so müssen alle anderen 

 Ableitungen 7:1 ter Ordnung von selbst ausfallen. Es gibt also nur zwei Integrale, welche bezüglich der Grösse 

 ^jter Ordnung von einander unabhängig sind. Hieraus ergibt sich der Sehluss, dass. so lange die Grössen (10) 

 unbestimmt bleiben, das vollständige Integralsystem des /ten, also auch eines jeden anderen der^j möglichen 

 Differentialsysteme in zwei Gruppen zerlegt werden kann. Die erste Gruppe besteht aus zwei von einander 

 unabhängigen Integralen, deren jedes Ableitungen ^ter Ordnung enthält, und die wegen dieser Eigenschaft, 

 die sogleich eine Wichtigkeit erlangen wird, wesentliche Integrale genannt werden sollen. Die zweite 

 Gruppe umfasst alle übrigen Integrale, welche nun die Ableitungen ^jter Ordnung nur insoferue enthalten, als 

 sie als Functionen der wesentlichen Integrale dargestellt werden können. • 



I Es lässt sich immer ein Paar wesentlicher Integrale aufstellen von der Beschaffenheit, dass das eine Integrale kein 

 (0,^<) das andere kein Q), 0) ontliiilt. Wird im System —^ = Ij das erste mit M'j, das letzte mit ir, bezeichnet, so muss 



