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Es ist klar, dass unendlich viele Paare wesentlicher Integrale aufgestellt werden können, eines derselben 

 muss jedoch die gegebene Gleichung selbst enthalten, da diese augenscheinlich ebenfalls ein wesentliches 

 Integrale ist. Jedes System hat also neben der gegebenen Gleichung nur mehr Ein wesentliches Integrale. 



Kehren wir nun zur Gleichung (18) zurück und setzen in derselben irgend ein Integrale des ?!ten Systems 

 an die Stelle von F, so verschwinden, wie man sofort sieht, die Coefficienten der Variationen 'j{a,ß), diese 

 fallen also identisch aus. Zugleich wird l)iF=z und die rechte Seite in (18) reducirt sich auf 



So lange die Grössen (10) unbestimmt verbleiben, kann F nicht auch zugleich ein Integrale des ersten 

 Systems sein, wir wählen also diese unbestimmten Grössen so, dass 



D^F^O 

 und haben dann noch 



zu machen. 2^ ist durch die für die Grössen (10) getroffene Wahl auf eine Function der Integrationseonstanten 

 des ersten Systems reducirt, und damit nun auch oF^^O werde, mUssen die in Folge früherer Untersuchungen 

 zwischen den Constanteu bestehenden Kelatiouen so gewälilt werden, dass sich der zuletzt gefundene Wertli 

 von i'^von selbst auf Null reducirt. Jede Function von F, welche die rechte Seite in (18) zum Versehwinden 

 bringt, verwandelt die (18) selbst in eine lineare, homogene Gleichung zwischen den Grössen P(a,ß) und 

 2^,_p_ip. Da es sich um das Nullwerden dieser Ausdrücke handelt, müssen wir so viele 7<^ dieser Art aufsuchen, 

 als Grössen P und Z vorhanden sind, also, da ^ selbst die von den F verlangte Eigenschaft besitzt, noch 



Eine genaue Betrachtung der Gleichung (18) lehrt indess, dass unter diesen Functionen sich mindestens 

 2)~ 1 vorfinden müssen, welche (ji-0) oder (0,^j) enthalten, da im Gegentheile die Coefficienten der Z gleich 



die Gleichung Z)j TFi = mit der vorletzten Gleicliuug in (9), die Gleichung Dj TFj = mit der letzten desselben Systems 

 zusammenfallen. Also ist; 



-l^^-l.— 



dip-i,i) 



,--1,/11Zl S^a _ L ^, ^ 3Ti; , 



\ ihm' hp~hO ~ [t>>(>-ij 'mi') '" 



Man kann ferner leicht zeigen, dass mau immer zwei wesentliche Integrale aufstellen kann, welche zusammen die 

 gegebene Gleichung ersetzen. Es ist nämlich '^ immer darstellbar als Function der Integrationsconstanteu. Ist also 



ein wesentliches Integrale, so muss zwischen der Coustanten f dieses Integrals und deu übrigen Integrationseoustanten eine 

 Relation bestehen, welche aus der gegebenen Gleichung y = ihren Ursprung nimmt. Sei daher etwa 



/•=3(/,, /■,,...) 



lind ersetzt man hierin die Constanten fi,f.,,--- durch ihre Werthe iu den Variabein des Systems, so entsteht rechter Hand 

 ein Ausdruck, welcher augenscheinlich wieder ein wesentliches Integrale ist. Bezeichnen wir diesen Ausdruck durch Cr, so 

 sind F und G zwei von ^ unabhängige Integrale, welche jedoch zusammen die gegebene Gleichung ersetzen, denn die- 

 selbe reducirt sich augeuscheiulich auf die Ilelatiou : 



F—G = 0. 



Ersetzt man nun in F ein etwa vorhandenes (0,^j) durch seinen aus der gegebenen Gleichung ^ = fliessenden Wertli, 

 und in G das etwa vorhandene {p, 0) ebenso durch dessen aus 'f = sich ergebenden Wertli, so hat man also zwei wesent- 

 liche Integrale fimdr/, von denen das erste kein (0,//), d.as zweite kein (p, 0) enthält und welche zusammen die gegebene 

 Gleichung ersetzen, denn diese lautet 



