Die Inlegrution (kr })aytkileii Dljf'ermtiaUjleichaiKjcn. 49 



Null ausfallen würden, und daher aus dem Verschwinden der rechten Seite auf das Verschwinden der Z 

 keineswegs geschlossen werden könnte. Wir haben nun '^ unter die Functionen i^ aufgenommen, es gibt also 

 in jedem System nur mehr Eine Function von der verlangten Art, welche von y unabhängig ist; es ist dies je 

 Eines der zwei wesentlichen Integrale. Die Anzahl dieser von <f und nach dem oben Vorgetragenen auch unter 

 sich unabhängigen Integrale ist^j— 1 also die geforderte. Wir verändern somit in (18) i der Reihe nach in 2, 

 3,. . q) , und setzen in die erste der so erhaltenen Gleichungen für /'" ein wesentliches Integrale des 2ten, in 

 die zweite Gleichung ein wesentliclies Integrale des 3ten, endlich in die letzte Gleichung ein wesentliches 

 Integrale des pi&w Systems. Werden nun die unbestimmten Grössen (10) so bestimmt, dass sich diese p—\ 

 wesentliche Integrale auf Integrale des ersten Systems und vermöge der zwischen den Integrationsconstanten 

 dieses Systems herrsehenden Relationen auf Null reduciren, so verschwinden die rechten Seiten der eben auf- 

 gezählten Gleichungen identisch, und wir haben, die (19) mitgerechnet, p Gleichungen für die unbekannten 

 P und Z. 



Da die übrigen Gleichungen (18) wohl die Z enthalten können, aber nicht nothwendig enthalten müssen, 



können wir zur Aufstellung der noch fehlenden (^''^^) Gleichungen Integrale der zweiten Gruppe nehmen, 

 und zwar genügen, da jedes System (^''t^) +1 solcher Integrale besitzt, die Integrale irgend eines Systems 



für sich. Diese Integrale enthalten nun die Grössen (p,Q) und (0,^)) mir insoferne, als sie als Functionen 

 wesentlicher Integrale dargestellt werden können. Die Gleichungen (18), welche durch Einsetzung solcher 

 Integrale entstehen, gestatten also, die Z gleichzeitig zn entfernen, und die resultirenden Gleichungen sind 

 nicht mehr Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Grössen (10) , sondern nur identische Transforma- 

 tionen der Pfaff sehen Probleme (12). 



Die gesuchten Werthe der Grössen (10) sind also diejenigen, welche ein vollständiges System von Inte- 

 gralen irgend eines vom ersten verschiedenen Systems in ein vollständiges Integralsystem des ersten Differen- 

 tialsystems verwandeln oder mit anderen Worten, welche bewirken , dass alle p Integralsysteme in Eines 

 zusammenfallen. 



Wir bezeichnen also ein wesentliches Integrale des /ten Systems durch TF,, ein im Allgemeinen belie- 

 biges Integrale der zweiten Gruppe desselben Systems durch «v, sowie eine Reilie von p — 1 willkürlichen 

 Functionsformen durch ^^,-\>^,. . .^j,. Dann sind: 



wesentliche Integrale des 2ten, 3ten, . . .piaw Systems. Wir bestimmen die Grössen (10) so, dass sich diese 

 Differenzen auf Functionen der Integrationsconstanten reduciren, und führen dann zwischen den Constanten 

 des ersten Systems solche Relationen ein, dass die eben genannten Functionen den Werth Null annehmen, 

 d. h., wir betrachten die Gleichungeo: 



W^--W ("'2) = 0> Tf'3— ^3 («'3) = 0, . . . , TF„— ^„ (w,) = 0, (22) 



nachdem in denselben die Variabein durch ilire aus dem ersten Integralsystemc fliessenden Werthe ersetzt 

 worden sind, als Bestimmungsgleichungcn tür die unbekannten Grössen: 



{p-1,1), (p-2,2),...(2.p-2), {hp-D. 



Die Anzahl der Gleichungen (22) ist gleich der Anzahl der zu bestimmenden Grössen, es genügt also, 

 die letzteren aus den (22) zu berechnen. Die Einführung der berechneten Werthe in die Gleichungen (12) 

 verwandelt diese in Pfaff'sche Gleichungen und die Integration derselben liefert die noch fehlenden Rela- 

 tionen zwischen den Constauten. Dieselben Relationen erhält man auch dadurch, dass man — unter den Grössen 

 y, , y^, «3. . . die der zweiten Gruppe des Systems / angehörigen Integrale verstanden — in den Gleichungen: 



'\-f\ ("'■ ' = '*; "2- ?2 ( "'.) = 0, r^—fj ("',) = 0, . . . 



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