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für die Variabelii deren Wertlic aus dem ersten System und für die Grössen (10) die aus den Glcicliungen (22) 

 gefundenen Wertlie setzt. 



Die vorangeliendeu Entwicklungen setzen mit Nothwendigkeit voraus, dass die Integration der^.i Diife- 

 reutialsysteme bei völliger Unbcstimmtlieit der unter (10) angeführten Grössen vollzogen werde. Diese letz- 

 teren gehen also in die Integralgleichungen nicht nur als Functionsargumente im gewöhnlichen Sinne ein, 

 sondern auch als lutegranden in nach x auszuführenden Quadraturen. Im Allgemeinen enthält also eine jede 

 Gleichung von der Form : 



Quadraturen aus dem üen System, das Leisst solche, in welchen w, als Constante anzuseilen ist. Indem man 

 nun die Variabein durch ihre Werthe aus dem ersten System ersetzt, werden anderseits Quadraturen aus 

 dem ersten System eingeführt, in welchen also w^ als Constante anzusehen ist. Die Bestimmungsgleichungen 

 enthalten also im Allgemeinen Quadraturen von zweierlei Sinn , und die Differentiation mit dem Zeichen D^ 

 kann wohl die Quadraturen des ersten Systems, nicht aber auch die anderen noch enthaltenen Quadraturen 

 entfernen. Bezeichnen wir, um eine Quadratur aus dem /ten System zu kennzeichnen, das Diffei-cntiale unter 

 dem Integralzeichen durch (/,;r, und sei demnach 



ein Integrale aus dem /ten System, so gilt für die Differentiation D^J die Kegel: 



8./ 



imd es ist: 



I),J=S+ü.—A,) . 



sowie 



8,S' _ D, >S'-A'S' 



8// \—h 



Die Differentiationsregeln sind also, wie vorauszusehen war, im Wesentliclien dieselben wie bei den 

 Dift'ereiitialgleicliungen zweiter Ordnung und die gegenwärtige Rechnung unterscheidet sich von der dortigen 

 überhaupt nur darin, dass S nicht Eine, sondern im Allgemeinen alle unbestimmten Grössen (10) zu gleicher 

 Zeit enthält. Durch fortgesetzte Anwendung der Operation D^ entstehen also unter dem Integralzeichen Aus- 

 drücke von der Form: 



B[x;{p--i,l), I),(j>-l,l), B\(p-l,l)...; (p-2,2), D,(j,-2,2),. . .■ {\,p-\), D,{\,p-V),. . .\ 



Gelingt es nun, aus den gewonnenen Gleichungen eine Relation herzustellen, in welclier die unter den 

 Integralzeichen befindlichen Theile sich als Functionen des von Integralzeichen freien Theiles darstellen 

 lassen, so kann man durch wiederholte Anwendung der Operation i>, die Integralzeichen des /ton Systems 

 entfernen und es entsteht eine Gleichung zwischen 



x,E,D,R,DfR,.... 



Die Integration dieser gewöhnlichen Differentialgleichung, bei welcher die Integrationsconstanten als 

 Functionen von la anzusehen sind, ergibt dann eine Relation zwischen .c und den verschiedenen Ableitungen 

 der unbestimmten Grössen (10) genommen nach dem Zeichen I)^. Dieser Vorgang wiederholt sich ^^ - 1 mal, 

 da uns eben so viele Bestimmungsgleichungen zur Verfügung sieben. Wir erhalten also ein System simultaner 

 Differentialgleichungen von der Form: 



(■),[,;•; (iJ-1,1), D^ip-1,1),...] (p-2,2), I>,(p-2,2),...; (],i>-l), D^{l,p-1),. . .] = 0, 

 0,,_,[,r,(^>-l,l), 7>,(^>-l,l),...; UJ-?,2\ D^(p-2,2),. . . ; {l,p~l), D,{\,p-1),. . .] = 0, 



