Die Integntfion der partiellen Differentialgleichuiigcii. 53 



veibundeu sind. Sie geben daher eine Completiiung', welche wohl der Form, nicht aber dem Wesen nach von 

 der obigen verschieden ist. 



Da in den Ergänzungsgleichungen die Differentialquotienten (a, ß) ' linear enthalten sind, so hat es keine 

 Schwierigkeit, dieselbe zu berechnen. Die Rechnung gestaltet sich am einfachsten, wenn man die in der 

 Anmerkung des vorigen Artikels charakterisirten wesentlichen Integrale zu Grunde legt. Ist nämlich /', ein 

 wesentliches Integrale des /ten Systems, welches kein (0,^j)) enthält, cy, das Ergänzungsintegrale, welches 

 kein (jj, 0) enthält, so ist nach dem obigen : 



f=fi-9: = ^^ («) 



also : 



iß) 



(7) 



wie unmittelbar aus den Gleichungen (20) und (21) gefunden wird. Anderseits ist zufolge der Relation (a) 



fh_\ _ /^\ _ f^Jl!\ /in _ f^\ _ /%iA . ^f — ''f' Jf^ _ 8(/, _ 



[dx)'~bx) [ixr[dyj Uz// [d!/)'dij),0) d{p,0)'d(Ö,p)- 8^0,jj)' 



und damit ergibt sich aus (ß) 



Ml)-(fe)-»- '■'y 



Die Gleichung (7) erhält nun die Gestalt : 



der zweite Factor dieses Ausdruckes ist nichts Anderes als der Quotient, der durch Division des Polynoms (7) 

 mit X— /, entsteht, er verschwindet also für alle Werthe A = A;,, welche von A; verschieden sind. Hieraus folgt, 

 dass der erste Factor durch die Substitution A = A, identisch der Null gleich werden muss, d. h., dass 



8/:- 1 8^^ _ _ 



'■ 8(^ ^ ^i),p-l J 8t 0,1» ^ *-*• (£) 



Bilden wir nun die Ausdrücke t, und o, für beide wesentliche Integrale, und setzen dieselben, wie verlangt, 

 gleich Null, so erhalten wir die Gleichungen: 



8^3::^:%^ 

 ^/^)-(l)-^a^-A;r^]^:^'^)'=^' 



^'i9i) = ('-&) + 



Vh>ß-21(«ßy 



^'1 A,A; J 



0. 



