Die Inteyrutiun der paiikUoi DiJ/'erciitiul(jUir/mitgeH. 55 



zu welchen sich leicbt die Reihe für die Ausdrücke: 



bilden lässt. Die Fortsetzung dieser Operation bewirkt, dass endlich die Dititerentialqnotienten (a, ßi' getrennt 

 erscbeiucn, und zwar, wie eine leichte Überlegung zeigt, nachdem alle Wurzeln in die eckigen Khunmcrn 

 einbezogen worden sind. Dann erhält man nämlich Summen von der Form 



da aber a + ß =^y und daher a—p-^-i =: — (ß — /), so ist diese Summe auch 



dieser Ausdruck besteht also nur aus einem einzigen Gliede, nämlich jenem, welches dem Werthe ß ^ / ent- 

 spricht. Es ist aber in jedem System [0,0] = 1, so dass in der That die Ditferentialquotienten («,/3)' separirt 

 erscheinen. 



Da bei diesen Rechnungen Integrale aller Systeme mit Ausnahme des ersten in Verwendung kommen, so 

 enthalten die Schlussgleichungen im Allgemeinen Quadraturen der verschiedenen Systeme. Diese können 

 durch die Anwendung der Operationen D.^,. . .Dp nicht entfernt werden, da die Ausdrücke («, ßV dem ersten 

 System angehören und daher durch Anwendung der Operationen D^^. . . ,D^, wieder partielle Ditferentialglei- 

 clunigen entstehen. Die Entfernung der Integralzeichen muss also successive nach dem bereits hinreichend 

 beschriebenen Verfahren vorgenommen ixnd im äussersten Falle zur Reihenentwicklung geschritten werden. 



Die vorhergehenden Entwicklungen geben Gelegenheit, den Fall gleicher Wurzeln zu betrachten, in 

 welchem also die Anzahl der untereinander verschiedenen Ditferentialsysteme kleiner ist, als die Ordnungszahl 

 2J des gegebenen Problems. Die Bestimmungsgleichungeu für die Grössen (10) zeichnen sich dadurch aus, 

 dass sie stetig in gewisse Grenzgleichungen übergehen, sobald einige oder mehrere der Wurzeln der Grei- 

 clmng ( 7 ) stetig in einen gemeinsamen Werth übergeführt werden. Diese Grenzgleichungen müssen dann 

 dazu benützt werden, um die nöthige Anzahl von Gleichungen wieder herzustellen. 



Um eine bestimmte Vorstellung zu haben, nehmen wir an, dass 



die Wurzel X, a^ mal. 



vorhanden sei, wonach 



sein muss. Es entstehen nun offenbar so viel Gleichungen als erforderlich, wenn man als Wurzeln der Glei- 

 chung [1 ) die Werthe 



/, ,/, +«2,,/, +c-g,+£3,,. . . , A, +£2,+S3,+ . . . +£j, i; 

 /j, />2 +«22 1 '''2 + =22+^32'- • • ' '''2 + '22 + =32 + • • ■ +'0,2! 



in den Gleichungen des vorliegenden Artikels einführt und hierauf zur Grenze für verschwindend s übergeht. 

 Die wesentlichen Integrale, von denen man ausgeht, sind frUiieren Entwicklungen zufolge stets in der Form 



vorausgesetzt. Da nun 5, anfängliche Systeme sich mit dem Verschwinden der s auf das System 



dx ~ ' 



