Die Inteijration der juirtiellen DiffcreiiHahjlfichuiKjen. 59 



ersetzt, ein Vorgang, welcher übrigeus nnr dessbalb möglieb ist, weil die Wirkungen, welche eine Verän- 

 derung der 1 hervorbringt, in den Integralen unmittelbar ersichtlich werden. Wo dies nicht der Fall ist, 

 müssen die nothwendigen Gleichungen durch successiye Vervollständigung eines beliebigen Ditferentialsystems 

 gewonnen werden. 

 Die Gleichung: 



a;3(3,0) + (« + /3+7),r*y(2,l) + (a,3 + «7 + l37)xy*(l,2) + aß7/(0,3)+3x«(2,0) + 



Ka + /3 + 7) + «i + a7 + l37)|.r//(l, \) + -6o^^'p/ {0,2)+x{\,0) + a^'iu{Q,V) = 



verwandelt sich durch die Substitution 



in die Gleichung 



_ +^« + ß + 7) -^^^ +(.ß + .7 + ß7) ^^ +«ß7. g^ = 0, 



und hat demzufolge die Lösung: 



(0,0) = <l>{,jx-'')+^{iix-^)+^{i)x-i). 



Ist |3 =: a, SO setze man zunächst 



(0,0) = a>(ya;-P)+W(yx-Tr) 

 und 



Da nun für verschwindendes e 



ya;— f := ijx~'^-'^ ^ yx~'^ — s \o^x.yx~'^ , 



so gibt die Entwicklung von tlJ(y./-P) bis einschliesslich der ersten Potenz von £ den Ausdruck 



a> {ux-'^) = a> {(jx-"—i log X . tjx-') - a> {,yx-^)--t log x . yx-'^ *' {i)x-<--) ; 



ersetzen wir nun 



— iyx-"- *!>' {yx-") durch <1), (y-c"") , 

 so wird 



(0,0) = <I)(y,t:-=')+ log .ra>j (//.<•-') +iP(yx'-ir) 



und dies ist die Lösung der Gleichung: 



= .r\3,0) + (2a + 7)/''y^2,l) + («2 + 2a7)a;y«(l,2) + «''7y^(0,3) + 3x*(2,0)+|2«+7 + a2 + 2«7|.ry(l,l) + 



+ 3a^7yHO,2)+,r(],0) + a^7y(0,l). 



In gleicher Weise folgt für die Gleichung: 



0iir.r3(3,O) + 3«/''//(2,l)+3a'''xy^(],2)+aV\0,3)+3a;^(2,0) + (3« + 3a«)a;//(l,l)+3a»//«(0,2)+a;(l,0) + 



+ «•'// (0,1) 



die Lösung: 



(0,0) — <\> (//,(:-") + log.r<l), (yx-') + (log,r)^<I>2 (y.c^") • 



15. 



Wie ersichtlich, erfordern die Entwicklungen dieses Abschnittes, dass die Gleichung (7) des Artikels 9 

 eben so viele Wurzeln besitzt, als die Ordnungszahl Einheiten beträgt, und dass diese Wurzeln ebenso von 

 Null als von Unendlich verschieden sind. Es treten jedoch NuUwerthe für die Wurzeln auf, sobald eine 

 geschlossene Reihe von Endeoefficienten : 



8tt3 8'jj 8m 



'802,i>-2)' 8(1,^.-1)' 8^ 



