Die Integration der partiellen Differenfiuhjleieluiiujen. 61 



Bezeiehnungswei.se erfordern. Diejenige Bezeicbnungsweise, welche sich, wie es scheint, den Bedürfnissen der 

 Rechnung am besten anschliesst, ist die bereits im vorigen Abschnitte gebrauciite, welche natürlich eine eut- 

 sprecheude Erweiterung erfahren muss. Wir bezeichnen also jene Function, welche an die Stelle von 



gci,+ot..+ . . . +«,^ 



'äxV S,i-'= . . . 8a;'' 



1 



zu substituiren sein wird, durch das Symbol : 



(«,, «2,..., a,^), 



SO dass die Stelle, welche irgend ein Index in der voranstehendeu Complexion einnimmt, diejenige der unab- 

 hängigen Variabein kennzeichnet, nach welcher abgeleitet werden .soll, während der Werth des Index — der 

 natürlich ganzzahlig ist — angibt, wie oft die Diiferentiation nach der gedachten Independenten vorzunehmen 

 ist Der Summe der in einer Complexion enthalteneu Indices ist .selbstverständlich die Ordnungszahl des 

 betreffenden Dilferentialquotienten von z. Findet nach einer der Independenten eine Ableitung nicht statt, .so 

 wird der betreffende Index gleich Null gesetzt, so dass die Anzahl der Indices .stets gleich q erhalten wird. 

 Diese Bezeichnungsweise reicht aus, so lange die Indices a allgemeine Werthe besitzen, oder so lange nicht 

 einzelne derselben eine besondere Aufmerksamkeit erregen. Überall, wo ein Zweifel entstehen könnte, wollen 

 wir daher unter die Reihe der Diflferentiations-Iudices die Reihe der ganzen Zahlen von 1 bis q anbringen, und 

 zwar so, dass über jedem einzelnen Index der unteren Reihe die Ordnungszahl der Differentiation nach jener 

 Independenten geschrieben wird, deren Index mit dem eben gedachten der unteren Reihe zusammenfällt. 

 Demnach wird beispielsweise die Ableitung 



durch die Function 



3,0,...,7,...,0. 





8a;? SicT VI, 2, 



1 I -' .' 



zu ersetzen sein. Für einige specielle Ableitungen werden wir noch kürzere Bezeichnungen einführen und an 

 Ort und Stelle definiren. Die Grösse ^^, deren Dar.stellung als Function der Independenten .r,, i\,..i-^ den 

 wesentlichen Inhalt unseres Problems bildet, ist nach diesem Bezeichnuugs.systeme durch die Function 



(0;0,...,0) 



ZU ersetzen. 



Ertheilt man den Variabeln ./■,, a\,. . ., .r^ die Zuwächse t,, t^,. .;, und entwickelt den Werth, welchen z 



für die Argumente ./, +i|, .fj+ij, , ■'■? + ^ annimmt, nach ganzen, po.sitiven, steigenden Potenzen der 



Zuwäclise £,, fj, . .fj — da es sich liier nur um die Form dieser Eutwickclnng liandelt, ist eine Untersuchung 

 über die Zulässigkeit derselben überflüssig — so tritt, von rein numerischen C'oe'ffifientcu abgesehen, zu dem 

 Differentialquotienten : 



(«i; «2;- • ■; «?); 



das Product 



^1 ; ^ä ; • • •; '^ ,^ 



hinzu, in welchem, wenn die Grössen i nach der natürlichen Reihenfolge ihrer Indices geordnet werden, die 

 Potenz-Exponenten «j, a^,. .«^ dieselbe Ordnung innehalten, wie die Differeutiations-Indices der nebenstehen- 

 den Complexion. Der Inbegriff aller Glieder von der Ordnung 7 in dieser Entwickelung kann also auch als 

 eine ganze, rationale und homogene Function der q Argumente i^ c^,. .t^ angesehen werden und folgt daraus 

 sofort, dass die Anzahl der mögliehen Differentialquotienten i'"' Ordnung gleich ist der Anzahl der Glieder 

 einer algebraischen Form vom Grade a und der Dimension q. Bezeichnen wir diese Anzahl durch Na, so ist 



*=('-:"°)=(7_!r°)- 



wobei unter 



