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der /.te Coört'icicut iu der Eutwickelung des Binomes 



(l+x)'" 



verstanden wird. Die Anzahl aller in der vorgelegten Differentialgleielumg enthaltenen partiellen Differential - 

 quotienten, das heisst die Anzahl aller Ableitungen bis zur^^ten Ordnung, die letzte mit eingeschlossen, ergibt 

 sich hieraus gleich 



2*.=(f)+('f)+--{''--l*")- 



Zählt man z als die Ableitung nuUter Ordnung seiner selbst hinzu, so ist also die Anzahl aller Ableitungen von 

 höchstens joter Ordnung 



^=|^"=i+(,lX,^:!:^)-^;---C^;ir)=? 



Indem nun im Allgemeinen zwischen diesen ('^ -''j Ableitungen und den q Independenten .^■^, qc^,...x,^ eine 



Beziehung festgesetzt wird, entsteht die allgemeine partielle Differentialgleichung piex Ordnung mit (j Indepen- 

 denten. Sei dieselbe dargestellt durch die Gleichung: 



0=.^ (:.„ ..„. . . .X,,Z, ,^_^__-^_-, ), 



SO haben die vorher eingeführten Functionen vor Allem die Relation: 



(1) = y(x„.T,,.....r„(0,0, 0), . . .(«,,«,,....«,). . .) 



identisch zu befriedigen. Die Anzahl der in der rechten Seite von (1) enthaltenen Argumente ist nach dem 



Vorigen : 



('^r)+^ 



Aus der oben aufgestellten Analogie in der Bedeutung der Indices a. lässt sich ein recurrentes Verfahren 

 für die Bildung sämmtlicher Ableitungen irgend einer bestimmten Ordnung herleiten. Multiplicirt man nämlich 

 eine algebraische Form vom Grade ^ und der Dimension q mit einer linearen Form derselben Dimension, so 

 entsteht eine Form ^tcr Dimension aber vom Grade (u+l). Da aber bei dieser Multiplication in allen Gliedern 

 zuerst der Exponent von f,, hierauf jener von t^ u. s. f je um eine Einheit erhöht werden, so folgt, dass man 

 aus den Complexionen der aten Ordnung jene der Ordnung <7+l erhält, wenn man in allen Complexionen der 

 Ordnung a zunächst den ersten, hierauf den zweiten Index u. s. f. je um eine Einheit erhöht. Der Inbegriff der 

 so entstehenden q Reihen enthält nothwendigerweise alle Complexionen (7+l)ter Ordnung, und zwar einige 

 mehr als Einmal, da jede Complexion (ff + l)ter Ordnung aus denen der ^ten Ordnung so oft entstehen kann, 

 als die erste von Null verschiedene Indices besitzt. Und umgekehrt behält man von den Complexionen (;> + l)ter 

 Ordnung jene bei, in welchen der Index der /ten Stelle von Null verschieden ist, so entstehen alle Com- 

 plexionen (jter Ordnung, indem mau in den beibehaltenen Complexionen den Index der /ten Stelle um eine 

 Einheit verringert. 



Nach diesen Vorbereitungen besteht unsere Aufgabe darin, die Functionen 



SO zu bestimmen, dass sie 



1. der Gleichung (1) identisch genügen vmd 



2. gewisse, sogleich näher zu entwickelnde Integrabilitätsbedingungen befriedigen. 



Diese Aufgabe kann nacli dem Verfahren von Lagrange in folgender Weise trausformirt werden: 



