Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 63 



Differeiitiirt mau die Gleicbuug (Ij nach .//. und setzt, so lauge 



für 



deu Ausdruck 



so folgt, 



8(«n «gl «?) 



^ö(a,,. .a^,. .a,J Zj ö(o:,, . . . a,, . . . ,a,J 8x4. ^^ 



worin die Summe im zweiten Gliede auf alle Complexioueu zu erstrecken ist, deren ludexsumme kleiner ist 

 als -p, während in die Summation des letzten Gliedes alle Complexionen ^jter Ordnung einzubezieben sind. 



Multiplicirt man nun die Gleicbungen, welche sich aus (2) durch Specialisirung des k in l,2,...,(j 

 ergeben, beziehungsweise mit (7x, , dx^,..., dx,, und addirt, so folgt durch unbestimmte Integration: 



Const. = y— fV ^ ^ J|^ ^^^^ j,/(a,,....,a,,...,a,)— V(a,,...^ «,.+ 1,..., ajrf.r,j , 



/.■=) 



in welchem Ausdrucke die unmittelbare, hinter dem Integialzeichen stehende Summe auf alle Complexiouen 

 von niedrigerer als der jjten Ordnung zu erstrecken ist. Es ergibt sich liieraus, dass die Gleicbungen (2) jene 

 (1) bis auf eine willkürliche Integrationsconstante ersetzen, sobald für alle Complexiouen von geringerer als 

 der ^jteu Ordnung: 



d{c^^,...,a.,,,...,a.,,) — V («,,..., «,,+ !,..., a.^)dxk. (3) 



i I, 



Wenn nun noch diese Gleichungen (3) unbeschränkt integrabel .sind, so sind, wie man ohneweiters ein- 

 sieht, die Functionen 



(«,,..., a-k,..., a,j) 



die partiellen Ableitungen von (0, 0, ...0); diese letztere Grösse ist demnach die gesuchte Lösung. Unsere Auf- 

 gabe ist also gelöst, wenn es gelungen ist, die Functionen (a, ,...aj) so zu bestimmen, dass sie die Glei- 

 chungen (2) identisch befriedigen, während die (3) unbeschränkt integrabel sind. Da nämlich die durch die 

 Integration eingeführte Coustante willkürlich ist; wird sie im Verlaufe der Rechnung stets gleich Null gemacht 

 werden können, und damit sind iillc Bedingungen des Problems erfüllt. 



17. 



Im ersten Abschnitte sind die Bedingungen angegeben worden, unter welchen Gleichungen von der 

 Form (3) im weiteren Sinne integrabel werden. Betrachten wir zunächst nur jene unter den Gleichungen (3), 

 bei welchen die Summe der in der linken Seite auftretenden Indices «j , a^,...a,j kleiner ist als 'jj — 1, oder, 

 wie wir der Kürze wegen sagen wollen, die Gleichungen von niedrigeren als der {j) — l)ten Ordnung uiul 

 entwickeln für eine derselben die Integrabilitätsbedingungen im Sinne des Artikels 3, so erhalten wir </ Glei- 

 chungen, welche aus der Formel : 



hervorgehen, wenn man den Index i der Reihe nach die ganzen Zahlen 1,2, — 2 bedeuten lässt. Mau 

 erkennt sofort, dass jede dieser Gleichungen unter den (3) bereits mitenthaltea ist, wenn die Summe 



a, + 6(2 



-I- ... +«,-+- ... -+-«/,+ ... 4-a,^<i:'— 1 , 



