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wie wir vorausgesetzt babeu. Aus den Gleicbungeu (3) lassen sich also stets G-ruppeu von je q Gleicbungen 

 zusammenstellen, so dass die Gleichungen einer Gruppe zugleich die Integrabilitätsbedingungen für eine 

 gewisse ebenfalls unter den (3) bciindlicbe Gleichung nächst niedriger Ordnung sind. Daraus folgt, dass 

 alle Gleichungen niederer Ordnung integrabel sind, sobald dies bei den Gleichungen der höchsten Ordnung 

 der Fall ist; es ist also blos nöthig, die Integrabilitätsbedingungen für jene unter den Gleichungen (3) 

 zu entwickeln, bei denen 



a, +«2+ ... +«j = 2' — 1- 



Man erhält diese Bedingungen, indem man in der Formel 



d{a^,...,ci, + \,...a,,...a.^)=\-^-^ ^^-i '- 'i>-dx, (4) 



für a^, a^,...a.^ alle Complexioneu Q;—l)ter Ordnung setzt und hierauf/ alle Zahlen l,2,...q der Reibe 

 nach bedeuten lässt. Die solcherart entstehenden Relationen sind die nothwendigeu und hinreichenden Inte- 

 grabilitätsbedingungen. 



Es ist zunächst zu bemerken, dass — die Gleichungen (4) in ihrer Gesammtheit betrachtet — sowohl in 

 den linken Seiten, hier mit dem Zeichen der totalen Differentiation versehen, als auch in den rechten Seiten, 

 hier mit dem Zeichen der partiellen Differentiation verbunden, alle Ableitungen ^^ter Ordnung enthalten sind, 

 wie aus dem im vorigen Artikel aufgestellten recurrcuten Bildlingsgesetze unmittelbar zu entnehmen ist. 

 Anderseits ist klar, dass sich diese Gleichungen von selbst in q Gruppen scheiden, je nach der ludepen- 

 deuten, nach welcher in der rechten Seite und zwar partiell abzuleiten ist, und zwar entstehen die Integrabi- 

 litätsbedingungen der /ten Gruppe, wenn man in (4) den Index / festhält und statt der Grössen c(.^, a^,...oc^ 

 alle Complexionen {p — l)ter Ordnung substituirt. Jede solche Gruppe enthält aber so viel Gleichungen als 

 Dififerentialquotienten (p — l)ter Ordnung, das ist 



q-l+p-l] 

 q-1 I 



1- 



und in den rechten Seiten aller Gleichungen einer und derselben Gruppe sind abermals sämmtliche Comple- 

 xionen ^jter Ordnung enthalten. Aus einer und derselben Complexion 



(«,,«;,,. . ., a,) der (p) — l)ten Ordnung 



können q von den Gleichungen (^4) abgeleitet werden, deren jede einer anderen Gruppe angehört; daher ist 

 jede der Gleichungen (4) detinirt, wenn man einerseits die Complexion (|> — l)ter Ordnung angibt, aus der 

 sie hergeleitet ist, und anderseits die Gruppe, der sie angehört. 



Wir vereinigen nun die Gleichungen einer jeden Gruppe zu einer neuen Gleichung, indem wir jedes Indi- 

 viduum einer Gruppe mit einem vorläufig noch unbestimmten Factor multipliciren und die erhaltenen Producte 

 addiren. Zur Kennzeichnung der hiemit eingeführten Factoren genügt es nach dem eben Gesagten, die Com- 

 plexion anzugeben, aus welcher die mit denselben multiplicirteu Gleichungen entstehen und die Gruppe, 

 welcher dieselben augehören. Daher bezeichnen wir den Factor der Gleichung (4) durch 



1« 



"./ 



und erhalten aus der iten Gruppe die Relation: 



A-= 



3(a,,...,C(;,...,at -4-1, ■■■,«,,) 



/t=i 



wobei die Summenzeichon, bei denen sich keine nähere Angabe befindet, bedeuten, dass die Summation 

 über alle Ausdrücke, für welche 



«j-t- ..• -1-«;-+- ••• +a.k-\- -..«j ■=.p — \, 



