Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 65 



zu erstrecken ist. Durch Specialisirung von / in 1,2,. . .q resultiren hieraus q Gleichungen, den q Gruppen 

 entsprechend, in welclie sich die Integrabiiitätsbedingungen formiren lassen. 



Wie aus einer vorhin gemachten Bemerkung ohneweiters fliesst, sind in den rechten Seiten einer jeden 

 der zuletzt aufgestellten q Gleichungen die Ableitungen aller Functionen («,,...,«,,) enthalten, deren Index- 

 surame^j beträgt. Benützen wir also zum deutlichen Unterschiede die Symbole: 



zur Bezeichnung der Ableitungen ^jter Ordnung, und ordnen die rechten Seiten der letzten Gleichung nach 

 diesen, so entsteht die Formel: 



v^^- '--^'--^-'--^ vrp„...,|3.,...,ß.-i,...,|3,F^.., 



(5) 



i=i 



wobei 

 und 



«,+ ... +K,+ . . . +«4+ . . . +«,, =1 p — l 



zu halten ist. 



Wir haben damit q Gleichungen erhalten, welche unmittelbar mit jenen (2) des vorigen Artikels vergli- 

 chen werden können. Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, fassen wir in den (2) die Glieder von niederer 

 als der j9ten Ordnung unter die Bezeichnung: 



ä^) = ^ + V- 5P ^(« ...,«, + !,. ..,«,),«, + . . .+«4-+. . .+«,<;; (6) 



zusammen und ersetzen hienach den Index A- durch /, sowie die Complexionen y*ter Ordnung, welche dort 

 durch (a, , «2,. . .,a,) bezeichnet wurden, durch die hier eingeführten Complexionen {ß^. ß^^ . . . ^ß^). Dann 

 lauten die (2) wie folgt: 



und durch Vergleichung dieser Relation mit der obigen (5) folgt, dass für alle Werthe des i z^ 1,2,. . . ,q und 

 für alle Complexionen ja ter Ordnung: 



^ — I — k=l 



V8-''.^ i[ß„...,ß„...,ß,) 



sein muss. Die Summe linker Hand ist hiebei auf alle Complexionen zu erstrecken, für welche 



«1 +«2+ • • • +«,■+ . . . +a, z=/>— 1 . 



Eine unmittelbare Folge dieser Gleichungen ist, dass der unbestimmte Factor, mit welchem irgend eine 

 der Gleichungen (4) multiplicirt worden ist, nur abhängig sein kann von der Complexion, aus welcher die zu 

 vervielfachende Gleichung entstanden ist, keineswegs aber von der Gruppe, in welche die lietretfende Glei- 

 chung eingeordnet wurde. Es resultirt dies aus dem Umstände, dass die Nenner rechter Hand von / uitab- 

 häni;ig sind. Daher ist der Index, welcher den unbestimmten Factoren beigefügt worden, überfiüssig und 

 die zu erfüllenden Gleichungen lauten: 



Denkschriften der matheni.-nat urw. Gl. XLIX. Bd. Äbluindlungen von Nichtinitgliedern. i 



