66 Victor Sersawy. 



l—i -^ k_^ (7) 



_ih-\ ^f 



Ux.J 3(ß,,...,(3,,...,ß,) 



Die Ausdrücke auf beiden Seiten in (7) bilden sieb nacb einlachen Gesetzen. Was zunächst die Brüche 

 links betriflft, so ist jeder derselben durch den Index / bestimmt, für welchen er zu bilden ist. Schreibt man 

 nämlich alle Complexionen (^— ])ter Ordnung an, und schliesst jede einzelne mit eckigen Klammern ein, 

 so hat man alle unbestimmten Factoren, welche in den Zähler eingehen, wobei man übrigens bemerken wird, 

 dass diese zugleich alle unbestimmten Factoren sind, welche überhaupt in Kechnnng treten. Man erhält nun 



den Zähler, welcher zu dem Nenner — [-4-] gehört, indem man jeden unbestimmten Factor mit dem totalen 



Differentiale jener Ableitung jjter Ordnung mnltiplicirt, deren Indexreihe aus der des nebenstehenden Factors 

 durch Erhöhung des a, um eine Einheit entsteht und die erhaltenen Producte addirt. 



Die Brüche rechterseits sind durch die Complexionen bestimmt, welche im Nenner auftreten. Der Zähler 

 ist eine Summe von der Form: 



X^ c?a;, + . . . +X< rf./;i-f- . . . -if^qilx^, 



und der Coefficient X^. von äx^ ist jener unbestimmte Factor: 



||3,,ß„...,ß.-l,...,/3,l, 



dessen Indexfolge aus der des Nenners entsteht, indem man den Iudex der /iten Stelle um Eins verringert. 



Der Natur der Sache nach können die Indices innerhalb der eckigen Klammern niemals negative Zahlen 

 werden. Es müssen also Klammerausdrücke, welche bei Befolgung dieser Gesetze negative Indices erhalten 

 würden, der Null gleich gesetzt werden. 



18. 



Die Gleichungen (7) repräsentiren ein System simultaner gewöhnlicher Differentialgleichungen, in wel- 

 chen eine beliebige der Variabein als Independente angesehen werden kann. Wir bestimmen hiezu .Tj , und 



setzen allgemein 



dxk_ 

 rfx, 



so dass X,, wo es der Symmetrie wegen beibehalten wurde, den Werth 1 besitzt. Da ferner einer der unbe- 

 stimmten Factoren willkürlich ist, setzen wir 



[2,-l,0,0,...,0] = l 



und verwenden durchgebends die Lag ränge 'sehe Bezeichnung der Differentialquotienten, wonach 



r.\' — 



dx. 



'i 



zu verstehen ist. Durch diese Suppositionen erhalten wir aus (7) das System: 



,8y ■ 





