Die Integration det" partiellen Differentialgleichungen. 69 



die Berecbnung der Factoren nächst höheren Ranges und der Ä auf irgend eine Weise bereits vollzogen ist. 

 Da ferner der unbestimmte Factor 



[|3,-l,l3.,-.-ßj] 



in den Gleichungen vom Range ß, nur einmal auftritt, und daher, so lange ß^ von Null verschieden ist, für 

 jeden zu bestimmenden Factor nur Eine Gleichung voriianden ist, so sieht man, dass, sobald die Grössen 

 ^2, A.;,.°.Ay bekannt sind, das System jener Gleichungen (10), in welchen |3,>-0 zur Berechnung der unbe- 

 stimmten Factoren jederzeit geeignet ist. Es ist aber auch ausreichend, denn die Anzahl der Gleichungen, 

 welche der aufgestellten Bedingung genügen, ist gleich der Anzahl der Complexiouen (p — l)ter Ordnung, also 

 auch gleich der Anzahl der unbestimmten Factoren, wobei der leichteren Ausdrucksweise wegen einerseits die 

 identische Gleichung : 



[^;,0,0,...,0|= ^*^' ■ 



dm 



d(i) 



und andererseits der Factor 



[^-1,0,...,0J = [1] = 1 



mitgezählt wurden. 



Um die noch fehlenden Werthe der {q — l) Grössen 1^,. • ., /,j zu finden, heben wir aus den Gleichungen 



(10) die folgenden heraus: 



■^ P.-2,U, 1,...,U| , h;-l,0,...,0,...,0] -^ p.-/-l,0,...,/,...,01 ■ h;-/,0,...,/-l,...,0| 



\[1] ^ ''l l,..2,.Av..,gJ+'n 1, 2,...,Av..,gJ _ ^ ^'L l...;J,...,fc,..,gJ+M l,...2,..., Ä,.... gi 



1 r^-i,o,...,i,...,o] ••• [p-^i,o,...,i,...,o\ 



L l,...2,...,A-,...,2-l L 1, 2,....k,..,qi 



, ro,o,...,;;-i,...,oi (11) 



"" rO.O, ..,y-,...,0| ' 



ll.2,...,l;...,q\ 



in welchen der Symmetrie wegen die allgemeinen Zeichen 



[IJ und X,, 



statt ihres gemeinsamen Werthes 1 beibehalten werden. Es sind dies /; Gleichungen, welche die (p— 1) regel- 

 mässig abgestuften Factoren : 



b-2,0,...,l,.,.,0] r^j_/,o,...,*-l,...,01 rO,0,...,^-l,...,01^rA.l («) 



l l,...2,..,k,..,qi' 'L 1,..2,..., k,...,qi' 'Ll,2,..., k,...,qi '^ 



und die Grösse At enthalten, sonach zur Bestimmung dieser Grössen hinreichend sind. 

 Verstehen wir unter Wi eine willkürliche Grösse, bilden das Product: 



(r,_l)-„,-,-,[.-.-..0,..-,j..^.,O]j.,„._y = 



1=0 



und ersetzen im Resultate die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von oot durch die aus den Gleichungen 



(11) fliessenden Werthe derselben, so folgt: 



.■ — n .-—ii \^ 1. ...S K, . , • *Q 



