Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 7 1 



B. 



Indem nun ein Tlieil der Gleichungen (10) vemacblässigt, der andere aber zur Bereclinung der imbe- 

 kannten Grössen verwendet wurde, verbleiben noch die Gleichungen : 



und die q Gleichungen (8). Diese entlialtcn in endlicher Form alle Variabein des Problems, mit dem Zeichen 

 — behaftet nebst den Independenten x^,x^,. . .,x,j nur die Variabein der/>ten Ordnung. 



I 



A\ir nehmen also die Gleichungen (ii) zu Hilfe und haben sonach das System: 



dx^ 



— A, 



. «/.. . 



.,a,,l' = Vä,,!«, ,...,a^. + l,...,a3), «,+ ... -4-a/.+ ...+«, <iJ (1) 



S[a, , ...,«,-,..., aj|(a, ,...,«, + l....,ag)' = r— , a, + . . . +«,+ ... +a,^ =:^J — 1. 



Da in der ersten Zeile (q — 1), in der /weiten f^^ "|"^), und in der dritten »jr Gleichungen enthalten 

 sind, besitzen wir im Ganzen: 



Gleichungen zur Bestimmung der 



(^;^) +«-1 



Dependenten des Systems und daher um 



Gleichungen weniger als zu bestimmende Grössen vorhanden sind. Eine gleiche Anzahl der letzteren muss 

 also während der Integration als unbestimmt angesehen werden. Da unn überhaupt 



(v-r) 



Ableitungen jj ter Ordnung vorhanden sind, und vermöge der q letzten Gleichungen des Systems (I) die Diffe- 

 reutialquotieuten der einziiferigen Functionen 



(1), (2), •••,(?) 



durch die Dift'erentialquolienten der übrigen Functionen ^ ter Ordnung ausgedrückt werden können, empfiehlt 

 es sich, die letzteren als die willkürlich bleibenden Grössen anzusehen. Sonach verbleiben während der Inte- 

 gration des Systems (i) alle Dependenten ^ter Ordnung mit Ausnahme der einziflerigen unbestimmt, und wir 

 bctracliten dieses System als iutegrirt, wenn es gelungen ist, alle übrigen Dependenten des Systems als Func- 

 tionen der Independenten x^ , der erlorderlichen Anzahl Integrationsconstanten und der willkürlichen Grössen 

 darzustellen. Es ist übrigens klar, dass die letzteren in den Integralgleichungen nicht nur als Functions- 



