Die Integration der partiellen Diferentiahjleichiinfjen. 77 



Die Zahl der Complexionen pter Ordmmg besteht aus drei Theilen, da in derselbeu 

 Erstens: die eiuzifferigeu Complexionen, q au der Zahl; 



Zweitens: die r^~ /^^^^ j — l Complexionen, deren erster Index von Null verschieden ist, 



endlich 

 Drittens: die Complexionen vom nullten Kange enthalten sind. 



Von der Gesammtzahl dieser r'omplcxionen sind nun die q ersten durch das System (7) bestimmt, 



■''"' —'i~ ' durch die Bedinguiigsgleichuugen (^17), die letzteren haben also Eine Bediugungsgleichung für 



die Grössen nullten Ranges zur Folge. 



Da nach Erfüllung der (17) aus deu Relationen (16) .c, entlällt, so verwandeln sich diese in Pf äff sehe 

 Gleichungen, dereu Lösimg dann diejenigen Beziehungen zwischen den Integrationsconstanten ergibt, aus 

 denen schliesslich das allgemeine Integrale der gegebenen Gleichung resultirt. 



Denkt man sich die Bedingungsgleichungen (17) iutegrirt, so ist die Form, in welcher die eben erwähnten 

 l'faff 'sehen Gleichungen auftreten, in dem einen Falle leicht herzustellen, wenn als Integrationsconstaute 

 des Systems {!) die Anfangswerthe der Dependenteu genommen werden, welche vermöge der Integralglei 

 cliiingen einem eoncreten, nicht siuguläreu Werthe x" des .r, entsprechen. Bezeichnöü wir diese Anfangswerthe 

 durch oben angefügte „"", so reduciren sich die Gleichungen (16) auf die Form: 



d(«, ,...,«,,,..., a,j)ö = y (a^ ,..., <x,,+ l, ..., aä)"oV, «, + •.. +«/.-+ • ■ ■ + '■'■,, <P ; 



setzt mau also: 



(a, , . . . , ai , . . . , «,;)" = (a, , . . . , «4, . . . , «,/) , 



wobei unter 



«i) («,,..., ai.,...,a,j) 



irgend eine Functiou der Anfangswerthe j'l,. . ..c" zu verstehen ist, so ist: 



uud hieraus folgt sofort : 



,, 8«I>(g^, ...,«,., ■■■,«,) 



(«,,...,«4+1,..., <X.j]' = ^ ; 



_ 3''^+---+''*+--- + '"i<l>(«,... ,0,...,0) 



Somit ist jede der Integrationsconstanten bestimmt, sobald für die Functionen : 



<D(0,0,....0), <I)(1,0,...,0), <mp-lA),...,0) 



eine Wahl getroffen worden ist. Da nun die Bedingungsgleichungen für die Grössen Oten Ranges nur auf die 

 Form dieser Functionen Einfluss üben können, so schliessen wir: 



Erstens: dass (q—i) der Integrationsconstanten unabhängig, alle anderen aber als Functionen 

 dieser anzusehen sind uud 



Zweitens: dass das allgemeine Integrale einer Diiferentialgleichung ptev Ordnung mit q Indepen- 

 denten nie mehr als j) willkürliche Functionen euthalten könueu. Doch muss sogleich bemerkt 

 werden, dass diese zweite Schlussfolgerung nur in gewissem Sinne richtig ist, welcher aber 

 dem ausgesprochenen Satze, wie sich später zeigen wird, ohne Zwang beigelegt werden kann. 



Wendet man nicht die Hauptiutegrale an, sondern irgend ein anderes vollständiges Integralsystem, so 

 behalten diese Bemerkungen augenscheinlich ihre Giltigkeit; die Relationen zwischen den Integrations- 

 constanten erhalten aber dann nicht die einfache hier angegebene Gestalt, vielmehr müssen sie erst durch die 

 factische Integration der Gleichungen (16) gewonnen werden. 



