Die TnfegraUoii der partiellen Differenfialgleichmn/r)/. s 1 



Es ist mm 



L K J~l KL J^^ VI KL J 



mid, indem man dieseu Werth in der vorigen Gleichung snbstitiiirt, eudlicii : 



f0.72^^..,7.]_[0r/,,^....7.]^_ V^A-_A.)fO,7,,...,^^-l,.,.,7,.]^ (20) 



1=2 



was zu beweisen war. 



Wir werden in den folgenden Untcrsaehungen Veranlassung finden, diese Zerlegung welter fortzusetzen, 

 und die Gleicliuugen 



P, ,3,-l,...,i3,-l,...l3J_ v\j,r5,....,/3,_l,...,ß,,_l,....ß„_l,...,ß 1 



1 K,L J-^M K,L.M J 



p=i 



aufzustellen, welche ihrerseits zu einer analogen Discussion und zu weiterer Zerlegung Anlass geben. Dadurch 

 gewinnen wir eine Eeihe von Ausdrücken der Form 



6 



<■ K,L,M,N J 



welche wir nach der Anzahl der in der unteren Keihe stehenden Indices in eine Stufenfolge bringen , der 

 7,ufolge Ausdrücke mit Einem lateinischen Index zur ersten Stufe, solche mit zwei lateinischen Indices zur 

 zweiten Stufe u. s. w. zählen. Es ist klar, dass man nicht weiter als bis zur ^jten Stufe fortschreiten kann. 



Von den Klammerausdrücken irgend einer Stufe können im Allgemeinen nur jene in Ausdrücke der 

 nächst höheren Stufe zerlegt werden, deren Rang von Null verschieden ist, also können umgekehrt aus den 

 Ausdrücken einer bestimmten Stufe im Allgemeinen nicht alle Ausdrücke der nächst niederen Stufe zusammen- 

 gesetzt werden, sondern nur diejenigen, deren Rang von Null verschieden ist. Ist aber die gedachte Zerlegung 

 für alle Coniplexionen in jeder Stufe durchführbar, so lässt sich der Ausdruck: 



^[l5.,...,ß,]t-J'...£ß% i3,+ ...+/3,=;j (21) 



in p lineare Factoren zerlegen. In der That ist dann: 



und da man für 



y j^ßi > • • V i3i.— !,••■, t3 J|3 _ _ _ ^p^-/ _ _ _ Q,, 



immer denselben Werth erhält, wie man auch y. wählen möge, so wird der obige Ausdruck gleich 



worin nun der zweite Factor in derselben Weise weiter zerlegt werden kann. Man gewinnt also schliesslich 

 die Gleichung: 



Zip ■"-! «!' • ■ e = (ZVf:")<lV«-) (sVf-). 



(1=1 li=l li=l 



wie behauptet worden. 



Denkschriften der mathem.-nalurw. Cl. XLlX.Bd. Abhandlungen von Nichlmitgliedern. 1 



