Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 87 



übergehen. Durch die Gleichungeu (26) und (27) wird eine Operation definirt, welche häufig wiederkehren 

 wird, so dass wir s-ie mit einem eigenen Namen bezeichnen wollen. Da es jedesmal nur auf die wesentlichen 

 Integral des betreffenden Systems ankommt, soll also diese Operation als „die Zerlegung der Function F in 

 ihre wesentlichen Integrale nach dem Systeme (L)" bezeichnet werden. Die Integration des Systems {K) im 

 Art. 21 bewirkt demgemäss die Zerlegung der Function ^ in ihre wesentlichen Integrale nach dem System 

 (7i) u. s. w. 



Da nun ^ in q wesentliche Integrale zerlegt werden kann, und jedes dieser Integrale der Gleichung (24) 

 identisch genügt, so gilt die vorige Entwicklung für alle q wesentlichen Integrale. Bezeichnen wir also die q 

 wesentlichen Integrale des Systems {K) durch 



K^, Äg , . . . ha, ■ . ■ Äg , 



so ändern sich gleichzeitig mit F auch die Grössen C, so dass wir dieselben mit do])peltem Index versehen 

 müssen. Demnach setzen wir: 



^C, p — 



lÜ'^. 



8(1) 

 und erhalten nun neben den Gleichungen (26) die folgenden: 



p=« 



yi^.,j[^^'-'^^-\-r'^^-''-'^D,iß.,---,ß,)^ 



M, 





3(1) 

 und diese geben mit Hilfe der Grössen Za^i-, welche die Eigenschaft haben, dass 



°S^ „ _ \0, wenn r ^ p, 

 "— '1, wenn p 7= t, 



die Eelationen: 



^^) 



Die linken Seiten dieser Gleichungen ändern ihren Werth nicht, wenn \>. mit p vertauscht wird; dasselbe 

 ist jedoch bei der rechten Seite im Allgemeinen nicht der Fall. Um dies zu zeigen, bemerken wir, dass wegen 

 der Definition der K die Identität besteht. 



"-' ( 8^1) 8(,o.) 8(1)) 



Multiplicirt man dieselbe mit Z^, und summirt bezüglich des a zwischen den Grenzen 1 und q, so folgt: 



/8Z„\ / dtp 



"=' "=' 8(1) 3(1) 



und durch die Supposition: 



