Die lntf(jratiun der /lartielleu Differeiilidlijlcic/iuiigeii. 93 



Voraussetzungen, die den vorliegenden Untersuchungen zu Orunile liegen, olmeliin der Fall sein ninss. Die 

 Anzahl dieser Gleicliuugeu ist souacli gleich der Anzahl dei' t'diiibinatioucii der dritten (Jlasse mit Wieder- 

 holungen aus q Elenieuteu, das ist 



Es ist nicht schwer zu beweisen, dass in dem System (26), (35) das System (L) des ursprünglichen Problems 

 wieder enthalten ist, so dass das letztere zu f ^ ., "j Gleichungen ergänzt worden ist. 



Da die Ausdrücke, aufweiche sich unsere Schlüsse bezogen haben, auch wenn man in der begounenen 

 Weise weiter schreitet, stets dieselbe Form behalten, so ist klar, wie sich diese Resultate erweitern lassen; 

 sie enthalten die Hilfsmittel, welche uns endlich die Befriedigung der aufgestellten Forderungen ermöglichen. 



24. 



^^'ir halten vorderhand noch an den Voraussetzungen fest, welche den Entwicklungen des vorigen Artikels 

 zu Grunde liegen und ziehen also nur solche Gleichungen in Betracht, bei denen die am Schlüsse des Art. 21 

 angeführte Zerlegung durch alle Stufen durchgeführt werden kann. In diesem Falle kann die allgemeine 

 Lösung sofort gefunden werden. 



Wir bezeichnen nach den Ergebnissen des Art. 20, welchen zufolge — und zwar, wie leicht ersichtlich, in 

 jedem Systeme — je {q — 1) Integrations-Coustanten unabhängig sind, {q — 1) Integrale der zweiten Gruppe in 

 irgend einem Systeme, also etwa im Systeme (K) durch 



«'.f , M'.f, .... w'^ 



i ' A ' ' {J 



und setzen alle Integrale, aus welchem Systeme immer sie herrühren mögen, in der Form : 



W>^~<\>'\wf, wf, . . . ,wf) = 



voraus, in der Absicht, die Variation üFin Gleichung (23) des Art. 22 von vornherein gleich Null zu machen. 



Setzen wir nun in dieser Gleichung L ^= II und für F ein wesentliches Integrale des Systems (71), so 



verschwinden in der rechten Seite die Variationen der Grössen ^ter Ordnung. Stelleu wir dann die Gleichungen 



{F) = 



auf, so verschwindet die rechte Seite, da oF wegen der besonderen Form der Integrale von vornherein 

 verschwindet, und das System (/) wird um (^) Gleichungen vermehrt. Man kann also durch diesen Vorgang 



die rechte Seite §mal der Null gleich machen und demzufolge q Gleichungen \ou der Art erzielen, wie sie 

 zum Schlüsse des Art. 22 postulirt worden sind. 



Nehmen wir ein wesentliches Integrale des Systems (III) und zerlegen dasselbe zunächst in seine 

 wesentlichen Integrale nach dem Systeme [II), so bewirken die hierauf bezüglichen Gleichungen, dass in der 

 Gleichung (23) die Variationen ^ter Ordnung verschwinden, da durch die aufgestellten Gleichungen die 

 Coefficienten derselben identisch der Null gleich werden, wie im vorigen Artikel bewiesen worden ist. Durch 



diese Zerlegung erhalten wir Mc, j Functionen, welche untereinander unabhängig sind und aus denen sich 



die weseutlichen Integrale des Systems {III) zusammensetzen lassen. Aber jedes andere wesentliche Integrale 

 des Systems (III) muss, wie aus dem Charakter eines vollständigen Integralsystems ohneweiters folgt, aus 

 eben denselben Functionen zusammengesetzt werden können. Fügen wir also noch die Anforderung bei, diese 



V 9 j ^wesentlichen Integrale der zweiten Stufe noch weiter in ihre wesentlichen Integrale nach dem 



Systeme (/) zu zerlegen, so wird nach dem Bewiesenen: 



(^'^>') = 



