94 Victor Sersawy. 



iiiul in (Ilt rechten Seite besitzen alle Tlieile den Wevtli Null. Die linke Seite aber zerfällt in \^'t,j Tlieilc von 

 (Un-.selben Form, deren jeder für sieh gleieli Null sein niuss, da sie mit willkürlichen Bestandtlieilen multiplicirt 



erscheinen. Bei diesem Vorgänge sind 



et') 



Gleichungen der verlangten Form entstanden .und gleichzeitig ist das System (/) auf 



Gleichungen vervollständigt worden. 



In dieser Weise fortschreitend erkennt man, dass durch successive Zerlegung der wesentlichen Integrale 

 vom Systeme (F) augefangen bis zum System t^I) die linke Seite der Gleichung (23) in 



• Theile zerfällt, deren jeder, sowie der Ausdruck, aus dem sie entstanden, bezüglich der Z linear ist und von 

 denen jeder einzelne gleich Null werden nuiss, da sie mit willkürlichen Factorcn multiplicirt ersciieiuen. Da 

 nun durch diesen Vorgang so viele Gleieliungen gewonnen werden als Z voi banden sind, genügt es, zu den- 

 selben jene Gleichungen hinzuzufügen, welche aus den noch vorhandenen 



von einander unabhängigen Integralen der zweiten Gruppe irgend eines Systems entstehen, um endlich alle 

 Gleichungen zu haben, welche erfordert werden. Da die letzteren dann untereinander unabhängig sind, so 

 folgt aus denselben ohneweiters : 



P-Q, Z-Q 

 und die Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt. Durch diese Rechnungen ist gleichzeitig das System (i) auf 



Gleichungen angewachsen. Es ist also jetzt coniplet, denn es besteht aus ebensoviel Gleichungen als 

 Dependeute in ihm entiialten sind. Die Integralgleichungen desselben verwandeln nun die Gleichungen P =: o 

 in Pfaff'sche Probleme und die Integration dieser letzteren ergibt endlich das definitive Integralsystem. 



In den Fällen, bei welchen die bisher festgehaltenen Voraussetzungen nicht eintreffen, kann niiin in allen 

 zu integrireuden Systemen die Zerlegung der Klammerausdrücke auf diejenigen Complexionen beschränken, 

 tür welche sie in dem g(>gebenen Stadium der Rechnung möglich ist und im Übrigen den soeben beschriebenen 

 Rechnungsvorgang beibelialten. Dies hat zur Folge, dass die erhaltenen Integrale nicht, wie gefordert werden 

 muss, als Functionen ihrer Unter Intergrale dargestellt werden können. Mau wird vielmehr durch Einsetzung 

 der Integralwerthe in jene wesentlichen Integrale, deren Zerlegung sie ihren Ursprung verdanken, Bedingungs- 

 gleichungen für gewisse Grössen: 



(ß^,ß^,. . -jß.j) der/iten Ordnung 



erhalten. Diese Redingnngsgleichungen erstrecken sich nicht bloss auf diejenigen Grössen dieser Art, welche 

 den Rang Null besitzen, da schon durch die zweite Zerlegung alle Grössen nullten Ranges von der Form 



'^ 1, «1 -4- «2 -t- . . . «,^ = ^J — 1 



K 



im Allgemeinen aus den Klammerausdrückeu der nächst höheren Stufe nicht mehr zusammengesetzt werden 

 können und daher auch von den Ausdrücken 



[ß^,ß„...,ß,lß^+ß,+ ...+ß,=p 



