Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 95 



einige, deren Rang von Null verschieden h\, nicht mehr jenen Wertli annehmen, der ihnen der gegebenen 

 Gleichung wegen zukommen .sollte. Wir entwickeln daher, nachdem sämmtliche Ä-Werthe berechnet und in 

 p Systeme eingereiht worden .sind, das Product 



^=q y.=ii v.=q 



und legen die so erhaltenen Au.sdrücke | \ der Rechnung zu Grunde. Mit diesen Ausdrücken, welche die 

 erforderlichen Zerlegungen durch alle Stufen hindurch gestatten, kann nun der oben beschriebene Vorgang 

 vollständig durchgeführt werden. Die solcherart erhaltenen Werthe der Variabeln erfüllen nun ihrerseits die 

 gegebene Gleichung ebenfalls nicht und wir erhalten durch Einsetzung derselben in die gegebene Gleichung 

 abermals eine Bediugungsgleichung. Da nun aber klar ist, dass von den Ausdrücken [ß,,. . .,/3,J nur jene mit 

 den gleichnamigen \^^, . . . , ß,J nothwendig zusammenfallen müssen, welche zur Construction der Gleichungen (12) 

 verwendet wurden, so folgt sofort, dass alle anderen (ß„. . .,ß,,), deren Gomplexion ß,,. . .,ß,, nicht in den (12) 

 auftritt, in die Bedingungsgleichung eintreten können. Es sind also gleichsam alle Bedingungsgleichungen 

 des vorigen Falles in eine einzige zusammengeschoben worden; da aber die letztere willkürliche Functionen 

 enthält, so zerfällt sie in mehrere Theile, deren jeder für sich gleich Null gemacht werden muss. 



Bezeichnen wir nun, um kürzer reden zu können, diejenigen Complexionen für ß,,. . .,/3^, für welche die 



Ausdrücke 



äß,,. . .jßg} mit den gleichnamigen [ß„. . ., ßj] 



nicht zusammenfallen, da die ihnen entsprechenden Grössen (ß,,. . .,ßj) gewissen Bedingungen unterliegen, 

 als bedingte Complexionen, und setzen in (23) Art. 22 <f an Stelle von F, so werden die Ausdrücke (^ ' . )(<f) 

 identisch Null und es folgt: 



1\' 



wie man übrigens durch directe Berechnung der Summe 



in Verbindung mit der Forderung, dass ^'^ gleich Null sei, finden kann. Man erkennt hieraus, dass man die 



Bedingungsgleichung jederzeit dadurch erfüllen kann, dass man die bedingten Grössen (ß,,. . .,ß,^) gleich 



absoluten Constanten setzt, welche letzteren übrigens, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, auch gleich 



Null gemacht werden können. 



Was endlich die Form der Bedingungsgleichung anbelangt, so ist diesellie augenscheinlich eine Beziehung 



zwischen den Ableitungen der in den letzten Integralgleichungen enthalteneu willkürlichen Functionen nach 



den dieselben constituirendeu Argumenten: 



II II n p p 



Wi, ...M,j;... ,Wz ,...,w,j\...,Wi,... ,Wq\ 



zerfällt also im Allgemeinen in mehrere partielle Differentialgleichnng»n der^jten Ordnung, jedoch mit je (g— 1) 



Independenten. Die Bedingungsgleichuug, respective die einzelnen Theile, in die sie zerlegt werden muss, 



haben also zur Folge, dass die eben genannten Argumente nicht mehr, wie früher, untereinander unabhängig, 



sondern in festen Verbindungen in die betreffenden willkürlichen Functionen eintreten, so dass diese letzteren 



im äussersten Falle in die Form: 



*,(Mg + *3(«;3)+ . . . +*,A«^,/) 



aufgelö,st werden müssen. 



