Die Infefjrnfion dar partiellen Differentialgleichungen. 97 



(I3„...,ß„...,ß.-l,...,/3~l,...,,%l 



» = (t) - 1^ '''■(? 'p ^ ft- ■ -P-^* irti '-wr 



^' )kl\ 



das ist mit der Gleichung 



= {^f)iK. 



wie sie sich bei den gemachten Voraussetzungen über K^ ergeben würde. Hiemit ist zugleich die aufgestellte 

 Behauptung bewiesen. 



In allen Integrationen, welche bei der successiven Construction des definitiven Intergralsystems zu 

 vollziehen siud, sind gewisse Ableitungen ^>ter Ordnung als unbestimmt anzusehen, was zur Folge hat, dass 

 dieselben in die Integralgleichungen im Allgemeinen nicht nur als Functionsarguniente im gewöhnlichen Sinne, 

 sondern auch als Integranden unter Quadraturen eintreten. Es ist also nothwendig, zu zeigen, wie solche 

 Quadraturen sich Differentiationen gegenüber, welche einem anderen Systeme angehören, verhalten. Es genügt 

 hiebei, zu zeigen, wie die partielle Differentiation auszuführen ist. Sei also Qk eine Quadratur nach dem 

 System (K), wesshalb wir schreiben : 



so ist offenbar: 



^_Qj^ ^ ^)J^ 8/.f 5(?A-_8(j 



'bx^ 8.f| S.r^ 8.r| 8.'',^ 8.r| 



8^^^- 8Xf 8 CA- 8Ä,f ^Qk_ 8? 



"bx^ ' dx^ B-Cj ' ' ' 8j-j, dx,j 3, 



^ 3^- _^ ^ 8^- _8Äf JQk^ 3g 



^Xq 8,<,Vj 3.''g 8j',y 3j,Vj dx,j 



Die Integration dieses Systems, welches in jedem einzelnen Falle auszuführen ist, gibt die Regeln für die 

 partielle Differentiation. Wegen der rechten Seiten in den vorigen Gleichungen treten nun unter die Integral- 

 zeichen Ausdrücke ein, wie 



da Mber die Ausdrücke, welche von Integralzeichen frei sind, wie aus dem kurz vorher Bewiesenen folgt, sich 

 in Ausdrücke verwandeln lassen, welche bloss das Operationszeichen D^ enthalten, so müssen, damit man 

 integrireu könne, auch die Theile unter dem Integralzeichen auf dieselbe Form gebracht werden. Es ist nun 



i,~^ ^Xu_ 



und diese Formel muss dazu benutzt werden, um möglichst viele von den i)artiellen Ableitungen durch die 

 totalen Differentiale L>k und Di auszudrücken, von denen die ersteren durch partielle Integration entfernt 

 werden können. Es ist nicht vorauszusehen, dass hiedurch alle partiellen Ableitungen zum Verschwinden 

 gebracht werden können, doch kann man durch wiederholte Anwendung der Formeln: 



3(ß„....ß,/) __ 8(/3,-l,...,ß, + l,...,ß.;) 3 ,_V, .8( 13,-1. ■■ „3, + 1....A^ 



alle Ausdrücke dieser Art in partielle Ableitungen der bedingten Grössen verwandeln. Der Coniplex, der nun 

 unter dem Integralzeichen verbleibt, enthält also nur bedingte Grössen und ist entweder identisch gleich Null 

 oder verschwindet in Folge der Bedingungsgleichungen aus der Rechnung. Ist aber keines von beiden der 

 Fall, so kann derselbe gleich Null gesetzt werden, da stets alle Bedingungsgleichuugen entfallen, sobald die 



Dtiuk&clirilteu der niaihtjüi.-u^lurw. Cl. XLIX. Bd. Abhuiidluugeu vou Nichtniilgliederii. U 



