98 Victor Sersawy. 



bedingten Ableitungen den Werth Null erhalten. Man erhält dann Ausdrucke, welche ausserhalb und iiineriialb 

 der Integralzeichen totale Differentiale derselben Art enthalten und nach den im vorigen Abschnitt entwickelten 

 Principien weiter zu behandeln sind. 



Die in diesem Abschnitte vorgenommenen Untersuchungen beruhen in mehrfacher Hinsicht auf der 

 Voraussetzung, dass die Werthe X, welche aus einer und derselben Gleichung (12) fliessen, untereinander 

 verschieden sind. Trifft dies nicht ein, so fallen natürlich diejenigen unter den Integralen te^,. . .,«',y, welche 

 aus derselben Wurzel entspringen, zusammen und dies hat zur Folge, dass bei der Zerlegung in wesentliche 

 Integrale in zwei oder mehreren der willkürlichen Functionen einige oder alle Argumente w dieselben sind. 

 In diesen Fällen muss man, um dass allgemeine Integrale zu finden, die Methode anwenden, welche im 

 vorigen Abschnitte bei gleicher Gelegenheit benützt wurde und übrigens bei ähnlichen Anlässen in der Analysis 

 allgemein gebräuchlich ist. 



Zum Schlüsse ist noch zu bemerken, dass durch Einführung neuer Independenten t,, f^, . . . , t,^ die A- Werthe 



d^i d.r, 



eine lineare Transformation erfahren. In der That ist, wenn -7^ ^= A, und -r-^ = Ap gesetzt wird: 



r 1 



=1 



A, =1 ^ , also bei der linearen Transformation: f ,= \ a, x. A, r= 



y^A ^=' y«.p^p 



p=l p p=l 



Man erkennt hieraus, dass etwa vorhandene Null- oder Unendlich -Werthe der X durch lineare Substitution der 

 Independenten in endliche, von Null verschiedene A-Werthe verwandelt werden können. Betrachtet man noch 

 die Substifntionsparameter als allgemeine, mit den gegebenen Grössen des Problems in keiner Relation 

 stehende Coustante, so können auf diesem Wege auch keine neuen Null- oder llnendliclikeits -Werthe der A 

 eingeführt werden. Sonach können diese bisher nicht berücksichtigten speciellen Fälle jederzeit auf den 

 allgemeinen Fall zurückgeführt werden und damit sind unsere gegenwärtigen Untersuchungen geschlossen. 



25. 



Ist nun ein concretes Beispiel gegeben, wie das folgende: 



(300) + ai+4'+^''){2lo)+(^-h^'-^^''){2in)+{^^'+^^^^^^^ 



in welchem die Grössen Aj, A", etc. Constanle bedeuten, so empfiehlt es sicii, zu Beginn der Rechnung alle 

 Complexionen zu verzeichnen, welche während derselben in Verwendung kommen. In unserem Falle sind dies 

 die Complexionen: 



nullter Ordnung: (000) 



erster „ : (100), (010), (001) 



zweiter „ : (200), (110), (101), (020), (011), (012) 



dritter „ : (300), (210), (201), (120), (111), (102), (030), (021), (012), (003). 



Für die Wurzelwerthe Aj besteht die Gleichung: 



= A^-(A2'-4-A^'+Af' lA= + (A,'Af/-4-A^'A^"+A,"'A[)^2-^8Ä"4", 

 deren drei Wurzeln, respective mit A^, A^', A^" zusammenfallen. Die Gleichung für A3, das ist 



=z AJ-(A^+A^+A^")^l + (^^Ä:;'-4-AX'-f-Af A^;A3-A^AVAf , 



