Arithmetische Theoreme^ 107 



also: 



so dass n^, ,. , der Rest ist, welcher bei der Division von \- — 1 durch jj bleibt. 



Ist speciell p = 2, so verwandelt sich die Formel 11) in die schon von Gauss mitgetheilte Relation: 



r2r 1 

 wo ■n'i^r.s die Werthe oder 1 hat, je nachdem -;- gerade oder ungerade ist. 



Man hat daher auch die Gleichungen : 



14) ^VV) =Y^[2r^]f{x) 



1=1 x=i 



[2ä -1 

 - -; 7 

 p.f /J 



ungerade ist. 



Nach den früheren Entwicklungen ist nun: 



wo: 



r ha. 

 A 



B = 



ist. .Genügt nun a. der Bedingung 6), so hat man: 



l |3« + ß-7 j 

 ~ [ 13A-W-V J 



1 - ' 



und daher ist: 



Ist B =^ 1, so ist auch: 



und daher: 



ßkn — 7 ßkn — 'j 



ka + y 

 kn-^ — ^ <Ä;(« + 1) 



[^] = fc» + p. 



wo f eine nicht negative ganze Zahl ist, welche nicht grösser als Ä— 1 sein kann. 

 Aus der Relation 6) folgt ferner : 



A — k-a{p>0). 



Nun ergibt sich aus der Relation: 



k — a^-, ^ < A- — cr + 1 



— ßn+ß—y 



sofort die Beziehung: 



kcc + y{k — '7 + z) 



ß{h'<^ + ^) 



<H+i, (•7 = i.2,...,5-n. 



