Arithmetische Tlieoreme. 109 



Den Fall /.• = 2 der zuletzt abgeleiteten speciellen Formeln, aus welchem bekanutlicb folgt, dass von den 

 Verhältnissen derEeste zu den Divisoren, welche bei der Division hinlänglich grosser Zahlen // durch alle nicht 



grösseren ganzen Zahlen auftreten, eine grössere Anzahl in dem Intervalle , als in dem Intervalle — 



" 2 



... 1 liegt, hat schon Dirichlet mitgetheilt; für ä;=:3, 4, 6 wurden die obigen Relationen von Herrn Borger 

 abgeleitet. 



Berücksichtigt man, dass jedesmal, wenn für einen bestimmten Wertbe von x ^= x., 



20) f^»v<^-*-' 



k = "' ^ k 

 ist, die Gleichung: 



[kr..,] = V 



besteht, so kann man die Formel 15) auch in folgender Weise schreiben: 



v=/t-l .=« — 1 



=1 

 wo : 



/■v 



= Z%v) 



ist, wenn die Sunimation bezüglich x, über alle jene Wertlie von x erstreckt wird, für welche die Relation 

 20) besteht. 



Erhält die Function /"(a^) den speciellen Werth 1 , so bezeichnet /; die Anzahl der Reste, welche in dem 



X ,, " v+1 ,, 



Intervalle -/-■■■ — j — hegen. 



Gibt man in der Gleichung 9) der Function f(x) die speciellen Werthe: 



22) f(.r) = t,x,x^,x'"-(x-iy',sm^^-^ cos^?:^-^!^, cosx5,sin.r 3, 



so erhält F(;r) der Reihe nach folgende Werthe: 



Fir) = r, D{r), D\r), r'", \/2 sin^ ^,-1= sin ^, 



23) . (2r-i-l)5 (2r+l)^ 



, ^ cotg - 



2^.3 '2 '^2 2 . ä 



2 sin - sm — 



wo Z)(r) die rte Trigoualzahl ist, und daher hat man die Formeln: 



24) Ziß^] ^ Z i^] 



X=:i X=l 



x=l Jr=l 



x=l x=i 



(=1 



