Arithmetische Thivreme. 111 



so erliält man die Relation: 



wo Am(j) die Summe der mten Potenzen der ungeraden Divisoren von x bezeichnet. 



Diese specielle Relation hat unlängst Herr Stieltjes in einer in den Schriften der Pariser Akademie 

 enthaltenen Notiz mitgetheilt („Sur quelques theoremes arithmetiques." Note de M. Stieltjes [Extrait d'une 

 lettre adressee ä M. llerraite] C. R. Tome XCVII, Nr. 17, 22 octobre 1883). 



Nach den eben gemachten Bemerkungen ergeben sich aus den obigen Formeln folgende arithmetische 

 Sätze: 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche von der Form ßx—-^ sind, ist 

 gleich der Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



,3,t— (;/— 1)7 ßn—{ii—2)y ßn~{n—3)'/ ßu 



ß ' 2ß ' 3ß ''-'ßji: 



enthalten sind. 



Die Anzahl der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis tt ist gleich der Summe der grössten 

 ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe : 



// + 1 « + 2 «+3 2« 



enthalten sind. 



Die Summe der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n ist gleich der Summe der Quadrate 

 der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



M+1 « + 2 n + 'ii 2 



II 



2 ' 4 ' (5 "'■•■' 2« 

 enthalten sind. 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ji, welche von der Form 4r+l sind 

 übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren um die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, 

 welche in den Gliedern der Reihe: 



M + 1 n+2 «+3 2« 



~2~' ~^' ~6~'''"'2^ 

 enthalten sind. 



Die Anzahl aller Darstellungen einer beliebigen positiven ungeraden Zahl n oder einer einfach geraden 

 Zahl 2« durch dicForm x'^-\-i/ ist gleich dem vierfachen Überschusse der Anzahl der ungeraden grössten ganzen 

 Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



«+1 « + 2 n + 'd 2ii 



~2~' ~^' ~6~'"'2;7 



enthalten sind, über die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe ; 



n ii + l H + 2 2«— 2 



enthalten sind. 



Ist n eine Primzahl von der Form 4/ -i-l, so kommen unter den grössten ganzen Zahlen, welche in den 

 Gliedern der Reihe: 



n+1 /i + 2 /I + 3 2ii 



~2~' ~^' ~6~'""' 2^7 



enthalten sind, zwei ungerade Zahl mehr vor, als unter den grössten ganzen Zahlen, welche in den Glie- 

 dern der Reihe: 



