Ärithnictiüche Theoreme. 113 



Man hat daher auch die Relation: 



.1=1 x=l x=0 x=0 



Schreibt mau in dieser Gleichung für >/. der Reihe nach: 



n, n — 1, n—2,...,2 

 und addirt die so entstehenden Gleichungen, so erhält man die Formel: 



\/n] 



\/u-x^] 



■-m 



x= 1 x=0 



welche schon Liouville ohne Beweis mitgeth eilt hat. 



Verbindet man diese Gleichung mit 32) , so erhält man die Relation : 



^■=[\/»J '= \ "+x -\ 



38) 2V[v/«-.-''J=«-2(-l)L'^J 



i=Ü 1 = 1 



Die auf der linken Seite dieser Gleichung stehende Summe lässt sich noch auf eine andere Form bringen. 

 Um zu derselben zu gelangen, betrachte ich die Summe: 



39) |i'[ä±v|E^jfw=|[^±>^ywH-|;[e±v^lfw, 



■v=i x—l x=^4-l 



Da aus der Relation : 



«-y 



die Beziehung: 



folgt, so ist: 



yx" < 



x=n, y=A 



x=p-\-i s,= l •' 



X=J>+I,../=I ' 



= ' jj ^'(^'^HfcI)!)/-(^)-^F(p)+£fX«) (ß = [!LtVp2^j) 



y=B+I,.c=l 

 y=4 



,/=JJ+l 

 und daher hat man die Gleichung 



x=i. 



|^F([^'-'»-w')-^fa,)+£f(,.) 



■£=1 x=l j=.ß4-l ' 



Deukschriften der niutheai.-ualiirw. Cl. XLIX.Bd. Aljliaiidliiin;uu von Niclitmi1t,'liedi.iii. 



