116 Leojiohl Gl' geil hau er. 



3x 



x=i x=i x=i ^ ' 



. /- . (2X+1)-T 



3r— I 



r=w .1—1 Sr— 1\ .r=A J— I ■"— ■ J-=ik 



+ 



^ .- (2X + l);r 



Setzt man in den Gleicbiingen 52) und 53): 



a ^ », |3 ^= 2, 7 =: 1, m := 2, 

 so erbält man die von Herrn Stieltjes a. a. 0. mitgetheilten speciellen Relationen: 



i' \z^] ■"•*^^ =f (.^]"° ^- - ^^f'^'" ■ (t [^1)^'. V^ '^' ■ 



Von den in diesen Formeln enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden besonders 

 erwähnt werden : 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form ßx— ■/ und 

 grösser als ßl — ■/ sind, ist um '/} kleiner, als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern 

 der Reihe: 



ßu — {n—])'/ /3h — («—2)7 ßw— (« — o)_7 ßn — (n — X)'^ 



ß ' ~ 2p ' 3ß '■■'' Iß 



enthalten sind. 



Die Anzahl der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser als 2X, — 1 sind, 

 ist um a] kleiner, als die Summe det grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



H-t-l «-+-2 n-{-3 «+Xj 



enthalten sind. 



Die Summe der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



w -H 1 H-t-2 n-^3 n-\-l^ 



~2~' "~4~' ~W~' '" '^\ 



enthalten sind, übertrifift die Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche 

 grösser als 2\ — 1 sind, um A'^. 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis h, welche von der Form 4;-h1 und 

 grösser als 2),, — 1 sind, tibertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze liegen- 

 den Divisoren um ebenso viel, als die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern 

 der Reihe: 



H + 1 11+2 n + 3 M 4- A, 



^-' -^' -6-'--''"2Är 



1 / . 1 V" 

 enthalteu sind^ grosser ist, als der Ausdruck /j 



