Arithmetische Theoreme. 117 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche von der Form 8r±l und 

 grösser als 2A, — 1 sind, übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze 

 liegenden Divisoren um ebensoviel, als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern 



der Eeihe: 



« + 1 n + 2 «4-3 « + A, 



~2~ ' ~4" ' ~6~ ' ■ ■ ■ ' ~2Ä7 



enthalten sind, und die Form 4r+l besitzen, die Summe aus der Anzahl der übrigen ungeraden grössten 



1— f— iy> 



ganzen Zahlen und dem Ausdrucke j'i-'Xj ^- — - — übertrifft. 



Ist: 



62) [«] = (i3«.-y)«, 



und setzt man in der Gleichung 7): 

 so wird: 



wo ^j , wie man sofort sieht, der Relation : 



genügt. Aus der Beziehung: 



(3,-l)(ß«.+ß-7) < ßn,^\(ßn,+[i-y) 



< «2 — -5, +1 



folgt: 



ß('»,-5,)- ^(«, ,3-7) ^ « + 70'.-^!+^) ^„ . 1 . il-^)(ßr>^+ ß~l) 

 ,3(/^,-5,+5) = i5(«,-^,+a) ^''"^ ^ ßK-^.+a) 



und daher ist: 



L js(»,-5,+5) i ' ^ (p>0). 



Wäre p > 0, so hätte man die Relation : 



was unmöglich ist, da die rechte Seite negativ, die linke aber positiv oder Null ist. 

 Man hat also die Gleichung : 



Es besteht daher die Relation : 



(^=1,2, 3,..., 5, 



H = (i3«-7HI- 



Gibt mau in dieser Gleichung der Function f(x) wieder der Reihe nach die si)eciellen Werthe 22) , so 

 erhält man die Formeln: 



X=n X^ttf T=7i* 



x^i x=l x^l 



