118 Leopohl (leg eil bau er. 



i=l 1=1 x=l 



G7) y r_^i ^™ _ y r « 1 (.- 1)-« = v'r " i ,.». _ y V « i(.,_ij.» + 3"j^T-.v«." 



^ Z_ill3,r— 7J Z_i LiSx— 7J ^ ^ Z_iL/5x-— 7J Z-ilßa;— 7]- -^ Z_.L fix J ^ ' 



a:=l 



i=l x^i x=I 



a.'=J^ ,^ ^. x=?;, -^ _ N - x^7U 



r.r.N Vr « 1 (2.r— l);r Vr « 1 2.r— l);r 1 vn . {n ra + yx-,) n, . ».n 



^ Z_jll3.r— 7J 4 AjLßa;— 7J 4 y/2 ^ (2 L ßx J) >y2 2 



. (2», + 1)5 



™) ^Z[p^J«»-^=^Z [p:^]°--^-^Si"^l[^>il 



«ij sm 



sm — ^=, sin — 



«, cos 



5 

 2" 

 (2/?, + 1) 5 



. ' ' ■ r* / sin — , sin — 



sm — .1=1 . Sin — 



') 



^2) ^Z(-i)1ß^]=^Z (-^^1^-:^]-^ Z^-^^^"^^^ +(-1)".-«. 



x^i x=l j:=1 



.- . (2«, + l);r 



», z!<-.)--(-.^|[p^]=Zi(-»--(-)-i[p^l-v^Z"^![^]Ml+ 



(2m^ + 1> 



v/ 



w„ V J cos 



9 



Von den speciellen Fällen dieser Formeln mögen die folgenden von Herrn Cesaro mitgetli eilten Glei- 

 cliungen erwäbnt werden : 



'^) z[j]=z'[.7]-z¥]-" ("=»■.»'=) 



x=t 



.(■=2 .r=m-t-l 



Die obigen Formeln entlialten eine Reihe von arithmetischen Theoremen, von denen die folgenden beson- 

 ders hervorgehoben werden mögen : 



Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form ß.r—y und 

 grösser als /3w, — 7 sind, übertrifft um «, «j, die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern 

 der Reihe: 



|3» — (m— 1)7 ß«— (m— 2)7 ßw — (« — 3)7 ßu—(n—n.,)y 



ß • 2ß ' 3ß '■••' ^^ 



enthalten sind, wenn it z= (^ßn^ — 7);/^ ist. 



