120 Leopold G e(jenbaucr. Arilhntetiavhc T/iconiuc. 



)i + l H + 2 ii-h'd n + ti., 



2 ' 4 ' 6 '■■■' 2«., 



2 



entlialtcii, und von der Form 4/ +1 sind, die Summe aus der Auzulil der übiigcn UDj;eradcn grössten ganzen 



1— (— 1)"" 

 Zahlen und dem Producte n^ «"'"' — übertriiit. 



Auf die in dieser MitÜieilnug angegebenen Formeln gedenke ich übrigens demnächst in einer Arbeit Über 

 asymptotische Gesetze der Zahlentlieoric zurückzukommen. 



Es mag bei dieser Gelegenheit noch gezeigt werden, wie leicht sich mit Hilfe der zahlentheoretischen 

 Function s(x) jener allgemeine Satz ableiten lässt, welchen Herr Stern in seiner interessanten Arbeit; „Über 

 einige Eigenschaften der Function E(x)" mitgetheiit hat. (Journal für die reine und angewandte Mathematik 

 von Borchardt, 59. Band.) 



Der erwähnte Satz, in welchem bekannte Theoreme von Eisenstein und Sylvester als specielle Fälle 

 enthalten sind, lautet: 



Es ist: 



77) y p!^i+ v" pyy'«|_ ^'-'ü^-'^)(7-/') 



L am J 



qm J iL_j L pii J mn 



wenn: 



und , - — - positive ganze Zahlen sind. 



ke < m 



lf< n 



Die auf der linken Seite der Gleichung 77) stehende Summe hat den Werth: 



Z—i \ij(p)i/ Z_i V xpii I 



Nun ist ; 



ijiii III ijiii 



Ä-tj(j) — c) _ fc(g'— _ kjeg—pf) 

 pn n pn 



und daher, wie auch die Differenz qe—pf beschaffen sein mag: 



r Ay('/-f) -| ^ k(jp-e) 

 L qm J m 



^hq(^-e)^^liq-f} 



r Kq\j)-(;) i ^, 



Da nun jedesmal, wenn x<l ist, £(x) = wird, so kann man den Ausdruck 78) auch in folgender 

 Form schreiben: 



X = ''Slz/1 , = ^^f-< 



j i^ny, ^ , i'^i^ 



/ I ( \ijqii/ \xpii 



x=i, 11=1 



und diese Summe ist, weil für jedes Werthepaar ,r, ij einer der beiden Brüche , — — grösser, der andere 



aber kleiner als 1 ist, gleich der Anzahl der Werthepaare, d. i. gleich —^ -— -. 



Ulli 



'=-^oi^^a=.^=- 



