Ühtr Deterniinanien höheren Banges. 

 iilsdauu ist p) eine primitive «) te Einheitswurzel und mau hat daher die Relation: 



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9) 



'l> '•>>•■•} 'j>>Jl "l; Ja '^2> ■•■ t Jr !<<■ 



j'i=ni—l,j'-i=i>>—l,---,j'r=>i,— l 

 i'i=0,j',=0,...,j„-=0 



dl, 12, ...,!;, l, l', X = 0, 1, 2, ... , «1 «2 . . . «,— 1 ) ■ 



Man hat also den Satz: 



Die Determinante ('jj + 2)ten Ranges und («j «.> w,-)ter Ordnung: 



'l> '2>- ■ •! 'Pl'- ! '• 



(('i , i'ä, . . . , (>, t, X = 0, 1 , 2, . . . , «1 »2 "'— ' ) 



in welcher; 



C; 



'l> '2j- • •> 'P' '> " 



'l; '3i- ■y'Pr.H — "l > J2 — "S)' ■ -jj» "r 



ist, wenn die Indices t, y. durch die Congruenzen 1) bestimmt und die Grössen j\ und x-^ nach dem Modul ii-, 



genommen werden, lä^st sich unter Adjunction der Gattung der («^ «., «,.) ten Einheitswurzeln auf eine 



Determii.ante vom Range ^> + l und der Ordnung n^H.^ w,,. redueiren, deren Elemente lineare homogene 



Functionen der Elemente der ur.sprünglichen Determinante sind. 



Beachtet mau, dass eine Determinante ersten Ranges von « Elementen das Pioduct dieser Elemente ist, 

 so erhält man aus der Gleichung Ü) lür^^O sofort den im Anfange erwähnten Satz über symmetrische 



Determinanten zweiten Ranges. 

 Ist ferner: 



also ; 



so verwandelt sich die Relation 8) in: 





10) 



'l! 'if-r'Prh — *1>J2 — ''2)-- -tJr — X,- 



»u '2, ■■■,h, Ji,h, ■■■>J'- ^1 ^2 ■ ■ ■ ^r 



j't=Oj'i=Q,...,j'r=0 



{iv >2>- • ■, 'P, 'l '') X = 0, 1, 2,. . ., »1 »2- • nr—l). 



wo die Marke an den Elementen der Determinante auf der linken Seite der Gleichung anzeigt, dass das 

 betreffende Element mit dem Vorzeichen (—1)' zu versehen ist, wenn t der Grössen jj,/.^,...,^,. kleiner als 

 die entsprechenden Zahlen x sind. 



Man hat also das Theorem: 



Die Determinante (p+2)ten Ranges: 



c'.- 



in welcher 



'd '2i- ••! *P> 



'li »2) •••!*/'> 



(('l, 8",,...,/^, t, X = 0, l,2,...,»ino «r— 1), 



^ ^ "h , '2> • • ■ 1 ip,Ji—*i, k—*2> • • 1 >- *'■ 



