SUR QUELQUES 



nouvelles formules de réduction 



DANS LA 



THÉORIE DES INTÉGRALES DEFINIES, 



PAR 



D. BIERENS DE HAAN. 



Mém. de l'Ac. Rov. fies Sciences. Sciences Phys. et matliera. T. XII. 



1. Parmi toutes les méthodes différentes que Ton a inventées 

 pour la réduction des intégrales définies, il y a une qui est tou- 

 jours d'un grand intérêt. C'est celle où il s'agit de développer 

 en série indéfinie un facteur de la fonction à intégrer. Or, d'une 

 part elle constitue un lieu entre la théorie des intégrales défi- 

 nies et celle des séries , théories dont on ne peut méconnaître la 

 liaison intime, et d'un autre côté elle offre beaucoup d'intérêt au 

 point de vue de l'analyse. C'est-à-dire qu'ici les conditions de 

 convergence jouent un grand rôle et qu'il faut être prudent 

 dans l'application des règles qui ont généralement cours ; et encore , 

 que parfois Ton tombe sur des résultats, soit très simples , soit très 

 curieux, auxquels ou ne se serait pas attendu. Dans plusieurs 

 de mes notes antérieures les exemples n'en manquent pas, et dans 

 celle-ci il s'agit encore de ces intégrales, qui s'y trouvent dans 

 une position particulièrement extraordinaire. 



En général, dans ces sortes de recherches, il est absolument 

 nécessaire d'exclure tout à fait les séries qui seront divergentes 

 entre les limites de la variable, dont on fait usage. Et cela est 

 tout naturel, puisque seulement dans le cas de séries convergentes 



